Wyznaczyc zbiory: X+Y,X-Y,X+X,Y-Y

[monpor7]

Wyznaczyc zbiory: \(\displaystyle{ X+Y,X-Y,X+X,Y-Y}\):

a).
\(\displaystyle{ X=(-3,+ infty ) imes [-1,2) \
Y=[-1,1)^2}\)

b).
\(\displaystyle{ X=[-1,1] imes left{ 3
ight} \
Y=[1,+ infty ) imes (- infty ,2)}\)

c).
\(\displaystyle{ X=\RR_+ \times \left\{ 0\right\} \\
Y= \left\{ (y_1,y_2) \in \RR^2:y_1 \le -1 \wedge y_2 \le 3\right\}}\)

[Janusz Tracz]

Wydaje się że z definicji będzie najwygodniej. Poza tym jeśli znaki \(\displaystyle{ +}\) i \(\displaystyle{ -}\) odpowiadają \(\displaystyle{ \cup}\) i \(\displaystyle{ \setminus}\). No i \(\displaystyle{ Y \setminus Y=\emptyset}\). Dla przykładu

\(\displaystyle{ X\cup Y=\left\{ x\in\Omega : x\in X \vee x\in Y\right\}}\)

Więc jeśli \(\displaystyle{ X=(-3,+ infty ) imes [-1,2)}\) oraz \(\displaystyle{ Y=[-1,1)^2}\) to

\(\displaystyle{ left( (-3,+ infty ) imes [-1,2)
ight) cup [-1,1)^2=left{ xinOmega : xin (-3,+ infty ) imes [-1,2) vee xin [-1,1)^2
ight}}\).

Jeśli zajdzie taka potrzeba to te iloczyny kartezjańskie też można rozpisać z definicji wszak

\(\displaystyle{ X \times Y=\left\{ (x,y): x\in X \wedge y\in Y\right\}}\)

Przydatna może być jeszcze różnica zbiorów definiowana równoważnie

\(\displaystyle{ X \setminus Y=\left\{ x\in\Omega : x\in X \wedge x\not\in Y\right\}= \left\{ x\in X : x\not\in Y\right\}}\)

Korzystając z tych definicji można właściwie podstawiać dowolne zbiory i tworzyć kolejne.

[a4karo]

Wydaje się jednak, że \(\displaystyle{ X+Y}\) to coś innego niż \(\displaystyle{ X \cup Y}\)

[Janusz Tracz]

W takim razie przepraszam, możesz mieć racje a4karo... to jest w dziale ekonomia więc może jakoś definiuje się ten \(\displaystyle{ +}\).

[Jan Kraszewski]

to jest w dziale ekonomia więc może jakoś definiuje się ten \(\displaystyle{ +}\).

To raczej nie ma wiele wspólnego z ekonomią (ale może się mylę). Symbol sugeruje sumę i różnicę kompleksową:

\(\displaystyle{ X\pm Y=\{x\pm y:x\in X\land y\in Y\}}\).

JK

PS
Ale może się mylę i są to tajemne ekonomiczne oznaczenia - wtedy przeniosę wątek z powrotem do "Ekonomii"...

[monpor7]

Przedmiot to ekonomia matematyczna...

[SlotaWoj]

Ale nadal nie wiemy, a jedynie domyślamy się, jak są zdefiniowane operatory \(\displaystyle{ +}\) i \(\displaystyle{ -}\).

[monpor7]

Tak mam zdefiniowana ale tylko sumę :
\(\displaystyle{ X+Y=\left\{ z \in \RR^n:z=x+y \wedge x \in X \wedge y \in Y\right\}}\)

[squared]

No to przykładowo:

\(\displaystyle{ X=(-3,+ infty ) imes [-1,2) \ Y=[-1,1) imes [-1,1)}\)

\(\displaystyle{ X+Y=(-2,infty) imes [-2,3)}\)

Dodajesz na dobrą sprawę tylko "końce" przedziałów (z nieuwzględnieniem domkniętości przedziałów).

[a4karo]

Dodajesz na dobrą sprawę tylko "końce" przedziałów (z nieuwzględnieniem domkniętości przedziałów)

Tylko dodawać trzeba dobrze.

[Jan Kraszewski]

Tak mam zdefiniowana ale tylko sumę :
\(\displaystyle{ X+Y=\left\{ z \in \RR^n:z=x+y \wedge x \in X \wedge y \in Y\right\}}\)

Nie mogę powstrzymać się od złośliwości, że taką definicję (chodzi o stronę formalną) to tylko ekonomista może napisać...

JK

[monpor7]

No to przykładowo:

\(\displaystyle{ X=(-3,+ infty ) imes [-1,2) \ Y=[-1,1) imes [-1,1)}\)

\(\displaystyle{ X+Y=(-2,infty) imes [-2,3)}\)

Dodajesz na dobrą sprawę tylko "końce" przedziałów (z nieuwzględnieniem domkniętości przedziałów).

\(\displaystyle{ -3+(-1)=-2\ ???}\)

Nie rozumiem.

[SlotaWoj]

\(\displaystyle{
ewrgbcolor{dg}{0 0.5 0}
ewrgbcolor{org}{1 0.4 0}X=({lue{-3}},{
ed{+ infty}} ) imes [{dg{-1}},{org{2}}) \
Y=[{lue{-1}},{
ed{1}}) imes [{dg{-1}},{org{1}}) \
X+Y=({lue{-2}},{
ed{+infty}}) imes [{dg{-2}},{org{3}})}\)

A teraz?

Edit: 2018-05-06 23:35

Zająłem się kolorami i przeoczyłem pomyłkę, którą wypunktował Jan Kraszewski poniżej.

[Jan Kraszewski]

Po prostu squared pomylił się (na co zwrócił uwagę a4karo).

\(\displaystyle{
ewrgbcolor{dg}{0 0.5 0}
ewrgbcolor{org}{1 0.4 0}X=({lue{-3}},{
ed{+ infty}} ) imes [{dg{-1}},{org{2}}) \
Y=[{lue{-1}},{
ed{1}}) imes [{dg{-1}},{org{1}}) \
X+Y=({lue{-2}},{
ed{+infty}}) imes [{dg{-2}},{org{3}})}\)

A teraz?

A teraz tak samo źle, powinno być \(\displaystyle{
ewrgbcolor{dg}{0 0.5 0}
ewrgbcolor{org}{1 0.4 0}X+Y=({lue{-4}},{
ed{+infty}}) imes [{dg{-2}},{org{3}})}\).

JK

[squared]

No to przykładowo:

\(\displaystyle{ X=(-3,+ infty ) imes [-1,2) \ Y=[-1,1) imes [-1,1)}\)

\(\displaystyle{ X+Y=(-2,infty) imes [-2,3)}\)

Dodajesz na dobrą sprawę tylko "końce" przedziałów (z nieuwzględnieniem domkniętości przedziałów).

\(\displaystyle{ -3+(-1)=-2\ ???}\)

Nie rozumiem.

Tak pomyliłem się, moja nieuwaga. Mili koledzy poprawili wyżej . Dziękuję!