Zasada abstrakcji

[CzarQ]

Zna ktoś jakiś prosty dowód zasady abstrakcji, taki bardzo łopatologiczny

[Jan Kraszewski]

Co rozumiesz przez "zasadę abstrakcji", której dowód chciałbyś zobaczyć?

JK

[Richard del Ferro]

Chodzi zapewne o zasadę asbtrakcji t.j. każda relacja dzieli sie na rozłączne klasy abstrakcji, których suma teoriomnogościowa jest zbiorem na którym opisana jest relacja

[Jan Kraszewski]

Być może, choć to, co napisałeś, jest niepoprawne - relacja na nic się nie dzieli.

Poczekam jednak, aż CzarQ doprecyzuje, o co mu chodzi.

JK

[CzarQ]

tak chodzi o tą zasade która wspomniał Richard del Ferro.Zasada abstrakcji – twierdzenie matematyczne mówiące, że dowolnemu rozbiciu zbioru odpowiada pewna relacja równoważności, a każda relacja równoważności ustanawia pewne rozbicie zbioru

[Jan Kraszewski]

No to nie jest to, co napisał Richard del Ferro - on podał tylko połowę tego, co Ty.

Teraz pytanie do CzarQ - czego oczekujesz? Sam dowód twierdzenia, które sformułowałeś, jest krótki: pokazujemy, że zbiór ilorazowy relacji równoważności jest rozbiciem, a dla rozbicia \(\displaystyle{ \mathcal A \subseteq P(X)}\) definiujemy relację \(\displaystyle{ R_{\mathcal A}}\) na \(\displaystyle{ X}\) warunkiem

\(\displaystyle{ xR_{\mathcal A}y\iff (\exists A\in\mathcal A)(x\in A\land y\in A)}\)

i udowadniamy, że jest to relacja równoważności. Oczywiście jego przeprowadzenie wymaga sprawdzenia wcześniej pewnych technikaliów.

Tak naprawdę ciekawe jest to, że te operacje są do siebie odwrotne, a między rozbiciami danego zbioru a relacjami równoważności na nim jest wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość.

JK

[CzarQ]

właśnie nie bardzo rozumiem dowod twierdzenia odwrotnego (
można to jeszcze bardziej uproscic czy się nie da?

[Jan Kraszewski]

Ale z którym fragmentem tego dowodu masz kłopot?

JK

[CzarQ]

Rozumiem że każda z tych trzech linijek odpowiada sprawdzeniu warunków relacji rownowaznosci czli zwrotnosc symetrycznosc i przechodniosc? tylko skad sie bierze wzór tej relacji?

-- 7 lut 2018, o 16:40 --

i czy w ostatniej linijce nie powinno być \(\displaystyle{ y,z \in A_j}\) ?

[Jan Kraszewski]

Rozumiem że każda z tych trzech linijek odpowiada sprawdzeniu warunków relacji rownowaznosci czli zwrotnosc symetrycznosc i przechodniosc?

Tak. Choć akurat symetria jest trochę sztucznie opisana, a przechodniość korzysta z pewnego faktu "udowodnionego wcześniej".

tylko skad sie bierze wzór tej relacji?

To jest pytanie filozoficzne...
Można powiedzieć przewrotnie, że wzór jest taki, bo wtedy wszystko ładnie wychodzi.

A zamiast wzoru wolę opis słowny: \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są w relacji, jeśli są w tym samym kawałku rozbicia.

i czy w ostatniej linijce nie powinno być \(\displaystyle{ y,z \in A_j}\) ?

Powinno.

JK

[CzarQ]

ok, dzięki wielkie -- 8 lut 2018, o 10:25 --a jeszcze jedno pytanie w definicji tego zbioru Pi nie powinno byc {At : t nalezy do T}