Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ A_{n}=\{ f \in {\{ 0,1 \}}^{\mathbb{N}} : \ \ f(n)=0 \}}\). Znaleźć

a) \(\displaystyle{ | \bigcap_{m \in \mathbb{N}} \bigcup_{n \ge m} A_{n} |}\)

b) \(\displaystyle{ | {\{ 0,1 \}}^{\mathbb{N}} \setminus \bigcap_{m \in \mathbb{N}} \bigcup_{n \ge m} A_{n} |}\)

Zastanów się najpierw jakim zbiorem jest \(\displaystyle{ \bigcap_{m \in \mathbb{N}} \bigcup_{n \ge m} A_{n}}\).

JK

Właśnie z tym mam problem.

Czuję się zmuszony pomóc.

Zastanówmy się najpierw, jakim zbiorem jest \(\displaystyle{ A_{n}}\):

\(\displaystyle{ A_{n}=\{ f \in {\{ 0,1 \}}^{\mathbb{N}} : \ \ f(n)=0 \}}\).

A więc dla dowolnego ustalonego \(\displaystyle{ n}\), zbiór \(\displaystyle{ A_{n}}\) jest zbiorem tych ciągów zero-jedynkowych, które mają \(\displaystyle{ n}\)-ty wyraz równy \(\displaystyle{ 0}\). Czyli na \(\displaystyle{ n}\)-tym miejscu ma być \(\displaystyle{ 0}\), na pozostałych argumentach może być cokolwiek (\(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ 1}\)).

Rozumiejąc to, spróbuj wyznaczyć zbiory \(\displaystyle{ \bigcup_{n\in\NN} {A_{n}} , \bigcup_{n \ge 1}{A_{n}}, \bigcup_{n \ge 2}{A_{n}},\ldots}\)

Zdaje się, że nie będzie to łatwe. Łatwo jest jednak pokazać, że każdy ciąg \(\displaystyle{ f}\), który od \(\displaystyle{ m}\)-tego miejsca jest stale równy \(\displaystyle{ 1}\)- \(\displaystyle{ f\not\in \bigcup_{n \ge m}A_{n}}\). Podejrzewam, że zachodzi wynikanie w drugą stronę. Będzie można pomyśleć.

Jakub Gurak pisze:Zdaje się, że nie będzie to łatwe.

Żartujesz? Przecież korzystasz tylko z definicji sumy i przekroju:

\(\displaystyle{ \bigcap_{m \in \mathbb{N}} \bigcup_{n \ge m} A_{n}= \left\{ f \in { \left\{ 0,1 \right\} }^{\mathbb{N}} : \left( \forall m\in\NN \right) \left( \exists n\ge m \right) f \left( n \right) =0 \right\}}\)

co oznacza, że jest to zbiór tych ciągów zero-jedynkowych, w których jest nieskończenie wiele zer.

JK

OK, więc zbiór \(\displaystyle{ B={\{ 0,1 \}}^{\mathbb{N}} \setminus \bigcap_{m \in \mathbb{N}} \bigcup_{n \ge m} A_{n}}\) składa się z tych ciągów zero-jedynkowych, w których jest jedynie skończenie wiele zer, lub równoważnie, tych ciągów, które od pewnego miejsca są stale równe \(\displaystyle{ 1}\). A moc takiego zbioru już dość łatwo wyznaczyć.

Zauważmy najpierw, że dla dowolnego \(\displaystyle{ m}\) naturalnego, zbiór wszystkich ciągów zero-jedynkowych, które od \(\displaystyle{ m}\)-tego miejsca są stale równe \(\displaystyle{ 1}\) jest skończony ( prosty indukcyjny dowód pomijamy). Zatem zbiór \(\displaystyle{ B}\) jako przeliczalna suma takich zbiorów skończonych jest przeliczalny.

Zbiór \(\displaystyle{ A=\bigcap_{m \in \mathbb{N}} \bigcup_{n \ge m} A_{n}}\) jest równy \(\displaystyle{ A={\{ 0,1 \}}^{\mathbb{N}} \setminus B.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ {\{ 0,1 \}}^{\mathbb{N}}}\) jest mocy continuum, ponieważ \(\displaystyle{ B}\) jest przeliczalny, i ponieważ zbiory mocy continuum są "odporne" na odejmowanie zbiorów przeliczalnych- zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest mocy continuum. \(\displaystyle{ \square}\)

Nie wiem, czy ostatni fakt jest zbyt znany, więc w ukrytej treści przedstawiam:

CIEKAWY DOWÓD:

Matematyka.pl

Moc zbiorów

Moc zbiorów

Re: Moc zbiorów

Re: Moc zbiorów

Re: Moc zbiorów

Re: Moc zbiorów

Re: Moc zbiorów