Moc zbiorów

[TorrhenMathMeth]

Niech \(\displaystyle{ A_{n}=\{ f \in {\{ 0,1 \}}^{\mathbb{N}} : \ \ f(n)=0 \}}\). Znaleźć

a) \(\displaystyle{ | \bigcap_{m \in \mathbb{N}} \bigcup_{n \ge m} A_{n} |}\)

b) \(\displaystyle{ | {\{ 0,1 \}}^{\mathbb{N}} \setminus \bigcap_{m \in \mathbb{N}} \bigcup_{n \ge m} A_{n} |}\)

[Jan Kraszewski]

Zastanów się najpierw jakim zbiorem jest \(\displaystyle{ \bigcap_{m \in \mathbb{N}} \bigcup_{n \ge m} A_{n}}\).

JK

[TorrhenMathMeth]

Właśnie z tym mam problem.

[Jakub Gurak]

Czuję się zmuszony pomóc.

Zastanówmy się najpierw, jakim zbiorem jest \(\displaystyle{ A_{n}}\):

\(\displaystyle{ A_{n}=\{ f \in {\{ 0,1 \}}^{\mathbb{N}} : \ \ f(n)=0 \}}\).

A więc dla dowolnego ustalonego \(\displaystyle{ n}\), zbiór \(\displaystyle{ A_{n}}\) jest zbiorem tych ciągów zero-jedynkowych, które mają \(\displaystyle{ n}\)-ty wyraz równy \(\displaystyle{ 0}\). Czyli na \(\displaystyle{ n}\)-tym miejscu ma być \(\displaystyle{ 0}\), na pozostałych argumentach może być cokolwiek (\(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ 1}\)).

Rozumiejąc to, spróbuj wyznaczyć zbiory \(\displaystyle{ \bigcup_{n\in\NN} {A_{n}} , \bigcup_{n \ge 1}{A_{n}}, \bigcup_{n \ge 2}{A_{n}},\ldots}\)

Zdaje się, że nie będzie to łatwe. Łatwo jest jednak pokazać, że każdy ciąg \(\displaystyle{ f}\), który od \(\displaystyle{ m}\)-tego miejsca jest stale równy \(\displaystyle{ 1}\)- \(\displaystyle{ f\not\in \bigcup_{n \ge m}A_{n}}\). Podejrzewam, że zachodzi wynikanie w drugą stronę. Będzie można pomyśleć.

[Jan Kraszewski]

Zdaje się, że nie będzie to łatwe.

Żartujesz? Przecież korzystasz tylko z definicji sumy i przekroju:

\(\displaystyle{ \bigcap_{m \in \mathbb{N}} \bigcup_{n \ge m} A_{n}= \left\{ f \in { \left\{ 0,1 \right\} }^{\mathbb{N}} : \left( \forall m\in\NN \right) \left( \exists n\ge m \right) f \left( n \right) =0 \right\}}\)

co oznacza, że jest to zbiór tych ciągów zero-jedynkowych, w których jest nieskończenie wiele zer.

JK

[Jakub Gurak]

OK, więc zbiór \(\displaystyle{ B={\{ 0,1 \}}^{\mathbb{N}} \setminus \bigcap_{m \in \mathbb{N}} \bigcup_{n \ge m} A_{n}}\) składa się z tych ciągów zero-jedynkowych, w których jest jedynie skończenie wiele zer, lub równoważnie, tych ciągów, które od pewnego miejsca są stale równe \(\displaystyle{ 1}\). A moc takiego zbioru już dość łatwo wyznaczyć.

Zauważmy najpierw, że dla dowolnego \(\displaystyle{ m}\) naturalnego, zbiór wszystkich ciągów zero-jedynkowych, które od \(\displaystyle{ m}\)-tego miejsca są stale równe \(\displaystyle{ 1}\) jest skończony ( prosty indukcyjny dowód pomijamy). Zatem zbiór \(\displaystyle{ B}\) jako przeliczalna suma takich zbiorów skończonych jest przeliczalny.

Zbiór \(\displaystyle{ A=\bigcap_{m \in \mathbb{N}} \bigcup_{n \ge m} A_{n}}\) jest równy \(\displaystyle{ A={\{ 0,1 \}}^{\mathbb{N}} \setminus B.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ {\{ 0,1 \}}^{\mathbb{N}}}\) jest mocy continuum, ponieważ \(\displaystyle{ B}\) jest przeliczalny, i ponieważ zbiory mocy continuum są "odporne" na odejmowanie zbiorów przeliczalnych- zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest mocy continuum. \(\displaystyle{ \square}\)

Nie wiem, czy ostatni fakt jest zbyt znany, więc w ukrytej treści przedstawiam:

CIEKAWY DOWÓD:    

Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie dowolnym zbiorem nieprzeliczalnym , a \(\displaystyle{ B}\) dowolnym zbiorem co najwyżej przeliczalnym. Pokażemy, że \(\displaystyle{ A \setminus B \sim A}\).

Możemy założyć, że \(\displaystyle{ B \subset A}\), bo elementy spoza zbioru \(\displaystyle{ A}\) nie wpływają na wielkość różnicy \(\displaystyle{ A \setminus B}\). Załóżmy, więc to.
Na początek należy zauważyć, że \(\displaystyle{ A \setminus B}\) jest zbiorem nieprzeliczalnym ( gdyby zbiór \(\displaystyle{ A \setminus B}\) był co najwyżej przeliczalny, to wtedy \(\displaystyle{ A=B \cup \left( A \setminus B\right)}\) byłby co najwyżej przeliczalny, jako suma dwóch zbiorów co najwyżej przeliczalnych- \(\displaystyle{ A}\) jest nieprzeliczalny-sprzeczność). Czyli zbiór \(\displaystyle{ A \setminus B}\) jest nieprzeliczalny, a więc nieskończony. Możemy więc odnaleźć w nim nieskończony zbiór przeliczalny \(\displaystyle{ C \subset A \setminus B.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ B}\) jest co najwyżej przeliczalny, to \(\displaystyle{ C \cup B}\), (jak i \(\displaystyle{ C}\)) jest przeliczalny. Zbiory te są równoliczne, a więc istnieje bijekcja \(\displaystyle{ f:C \cup B \rightarrow C}\). Mając ją, możemy zdefiniować bijekcję \(\displaystyle{ g: A \rightarrow A \setminus B:}\)

\(\displaystyle{ g\left( x\right) = \begin{cases} f\left( x\right) \hbox{ gdy } x\in C \cup B, \\ x \hbox{ w przeciwnym wypadku.} \end{cases}}\)

Trzeba to w końcu zilustrować.

Kod: Zaznacz cały

http://wstaw.org/w/4Lqh/

A więc bijekcja \(\displaystyle{ f}\) przeprowadza \(\displaystyle{ C \cup B}\) w \(\displaystyle{ C}\), a więc "chowa" zbiór \(\displaystyle{ B}\) w zbiorze \(\displaystyle{ C}\), a funkcja \(\displaystyle{ g}\) rozszerza jej działanie, tak, że na pozostałym fragmencie zbioru \(\displaystyle{ A}\) funkcja jest identycznością ( czyli gdy dostaje argument, to zwraca go taki sam, co zaznaczyłem na przykładzie trzech punktów). W ten oto sposób funkcja \(\displaystyle{ g}\) przeprowadza \(\displaystyle{ A}\) w \(\displaystyle{ A \setminus B}\). Taka funkcja jest bijekcją.