Pokazać, że obrazy iniekcji spełniają warunek

[Kalkulatorek]

Witam,

Mam pokazać, że jeżeli funkcja jest iniekcją, to dla jej obrazów zachodzi zależność \(\displaystyle{ f[A \setminus B] = f[A] \setminus f}\)

Próbowałem skorzystać z aksjomatu ekstensjonalności. Ostatecznie, po przekształceniach, dostałem takie coś: \(\displaystyle{ y\in f[A] \cap f[B^c]}\) Czy istnieje możliwość doprowadzenia tego do końca, czy może spróbowałem rozwiązać zadanie w zły sposób?
Poza tym, podczas swojego rozumowania nie potrzebowałem skorzystać z różnowartościowości funkcji - gdzie może się ono przydać?

[Premislav]

To popatrz na taką funkcję: \(\displaystyle{ f:\RR\rightarrow \RR, f(x)=x^2}\)
Mamy \(\displaystyle{ f\left[ \left\{ -1,1\right\}\setminus\left\{ -1\right\} \right] =\left\{ 1\right\}}\), zaś
\(\displaystyle{ f\left[ \left\{ -1,1\right\} \right] \setminus f\left[ \left\{- 1\right\} \right] =\varnothing}\)

Ja bym napisał taki dowód:
\(\displaystyle{ y \in f\left[ A\setminus B\right] \Leftrightarrow (\exists x \in A \setminus B)(y=f(x)) \Leftrightarrow \\\Leftrightarrow \left(\exists x \in A \right)\left( y=f(x)\right) \wedge \left(\forall x \in B\right)\left( f(x)\neq y\right) \Leftrightarrow y \in f[A]\setminus f}\)
W przedostatniej równoważności wykorzystałem założenie, że \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją:
skoro dla pewnego \(\displaystyle{ x \in A\setminus B}\) mamy \(\displaystyle{ f(x)=y}\), a \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa i zbiory \(\displaystyle{ A\setminus B, B}\) są rozłączne, zatem \(\displaystyle{ y \notin f}\).

[Jan Kraszewski]

I znów to, co pisałem w innym poście - manipulujesz znaczkami zamiast starać się zrozumieć byty występujące w zadaniu.

Wiesz, że zawieranie \(\displaystyle{ f[A] \setminus f \subseteq f[A \setminus B]}\) zachodzi zawsze (a przynajmniej powinieneś wiedzieć...), pozostaje zatem uzasadnić, że \(\displaystyle{ f[A \setminus B] \subseteq f[A] \setminus f}\). Zacznij standardowo, ustal dowolne \(\displaystyle{ y\in f[A \setminus B]}\) i zobacz, co z tego wynika. Postaraj się napisać to rozumowanie zdaniami, a nie seriami znaczków.

JK

[szw1710]

Witam,

Mam pokazać, że jeżeli funkcja jest iniekcją, to dla jej obrazów zachodzi zależność \(\displaystyle{ f[A \setminus B] = f[A] \setminus f}\)

Próbowałem skorzystać z aksjomatu ekstensjonalności. Ostatecznie, po przekształceniach, dostałem takie coś: \(\displaystyle{ y\in f[A] \cap f[B^c]}\) Czy istnieje możliwość doprowadzenia tego do końca, czy może spróbowałem rozwiązać zadanie w zły sposób?
Poza tym, podczas swojego rozumowania nie potrzebowałem skorzystać z różnowartościowości funkcji - gdzie może się ono przydać?

Musi się przydać.

Niech \(\displaystyle{ y\in f(A\setminus B)}\). Dlatego \(\displaystyle{ y=f(x)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ x\in A\setminus B}\). Stąd \(\displaystyle{ y\in f(A)}\). Gdyby \(\displaystyle{ y\in f(B)}\), to \(\displaystyle{ y=f(x_1)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ x_1\in B}\) i z różnowartościowości mamy \(\displaystyle{ x=x_1}\). Daje to sprzeczność, bo wtedy \(\displaystyle{ x\in B}\), a \(\displaystyle{ x}\) było elementem \(\displaystyle{ A\setminus B}\).

Inkluzję przeciwną pokaż sam.