Relacja jest symetryczna - dowód
: 14 lis 2017, o 21:24
Witam.
Mam pokazać, że relacja jest symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ R = R^{-1}}\). Czyli, innymi słowy, należy pokazać, że
\(\displaystyle{ (\forall x,y \in X)(xRy \rightarrow yRx) \Longleftrightarrow R = R^{-1}}\)
No to zacznijmy od pokazania implikacji w prawą stronę - na tym etapie natknąłem się na pewien problem: mam pokazać, że
\(\displaystyle{ (x,y) \in R \Leftrightarrow (x,y) \in R^{-1}}\)
Jednak w samym założeniu mamy tylko implikację, więc jestem co najwyżej w stanie pokazać, że:
\(\displaystyle{ (\forall x,y \in X)((x,y) \in R \Rightarrow (y,x) \in R)) \Leftrightarrow (\forall x,y \in X)((x,y) \in R \Rightarrow (x,y) \in R^{-1}) \Leftrightarrow R \subseteq R^{-1}}\)
Stąd moje pytanie - skąd mogę wziąć tę implikację w drugą stronę?
Mam pokazać, że relacja jest symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ R = R^{-1}}\). Czyli, innymi słowy, należy pokazać, że
\(\displaystyle{ (\forall x,y \in X)(xRy \rightarrow yRx) \Longleftrightarrow R = R^{-1}}\)
No to zacznijmy od pokazania implikacji w prawą stronę - na tym etapie natknąłem się na pewien problem: mam pokazać, że
\(\displaystyle{ (x,y) \in R \Leftrightarrow (x,y) \in R^{-1}}\)
Jednak w samym założeniu mamy tylko implikację, więc jestem co najwyżej w stanie pokazać, że:
\(\displaystyle{ (\forall x,y \in X)((x,y) \in R \Rightarrow (y,x) \in R)) \Leftrightarrow (\forall x,y \in X)((x,y) \in R \Rightarrow (x,y) \in R^{-1}) \Leftrightarrow R \subseteq R^{-1}}\)
Stąd moje pytanie - skąd mogę wziąć tę implikację w drugą stronę?