Matematyka.pl

Wiedząc, że jeżeli \(\displaystyle{ A,B,C,D}\) są niepustymi zbiorami oraz

\(\displaystyle{ (A \times B) \cup (B \times A)=C \times D}\)

wykazać że

\(\displaystyle{ A=B=C=D}\).

Rozpisując założenie doszłam do postaci:

\(\displaystyle{ (x \in A \wedge y \in B \wedge x \in B) \vee (x \in A \wedge y \in B \wedge y \in A) \Leftrightarrow x \in C \wedge y \in D}\)

Z tego wynika że \(\displaystyle{ A=B}\) bo gdyby te zbiory nie były równe, to lewa strona równoważności byłaby fałszywa.

Czyli równoważność można zapisać w postaci \(\displaystyle{ x \in A \wedge y \in B \Leftrightarrow x \in C \wedge y \in D}\)

Z czego jasno wynika teza.

Wszystko ok czy coś namieszałam ?

Z tego nic nie wynika. To nie jest dowód, tylko znaczkologia.

JK

Jakaś wskazówka ?

Najpierw pokaż, że \(\displaystyle{ A \subseteq C, A \subseteq D, B \subseteq C, B \subseteq D}\). Potem pokaż, że \(\displaystyle{ C \subseteq A\cup B, D \subseteq A\cup B}\) i wywnioskuj stąd, że \(\displaystyle{ C=D}\). Wreszcie pokaż (np. nie wprost), że \(\displaystyle{ A=B}\) i wywnioskuj tezę. Na kolejnych krokach możesz potrzebować wyników z kroków wcześniejszych.

JK