Dowodzenie inkluzji
-
- Użytkownik
- Posty: 35
- Rejestracja: 4 sie 2017, o 11:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 4 razy
Dowodzenie inkluzji
Załóżmy, że mamy zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) których elementami są zbiory, wtedy:
\(\displaystyle{ \left( \bigcup A \right) \times \left( \bigcup B \right) \subseteq \bigcup \left\{ X\times Y: X \in A, Y \in A \right\}}\)
Nie wiem w ogóle, jak miałaby wyglądać suma zbioru po prawej stronie, bo elementami będzie para uporządkowana zbiorów, tak? Bo elementy \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są zbiorami które należą do \(\displaystyle{ A}\), no a iloczyn kartezjański tworzy pary uporządkowane.
Byłbym wdzięczny, jakby ktoś chciał pomóc mi w zrozumieniu, nie do końca rozwiązaniu, dziękuje
\(\displaystyle{ \left( \bigcup A \right) \times \left( \bigcup B \right) \subseteq \bigcup \left\{ X\times Y: X \in A, Y \in A \right\}}\)
Nie wiem w ogóle, jak miałaby wyglądać suma zbioru po prawej stronie, bo elementami będzie para uporządkowana zbiorów, tak? Bo elementy \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są zbiorami które należą do \(\displaystyle{ A}\), no a iloczyn kartezjański tworzy pary uporządkowane.
Byłbym wdzięczny, jakby ktoś chciał pomóc mi w zrozumieniu, nie do końca rozwiązaniu, dziękuje
Ostatnio zmieniony 6 lis 2017, o 18:12 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości: \bigcup.
Powód: Poprawa wiadomości: \bigcup.
-
- Administrator
- Posty: 34238
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Dowodzenie inkluzji
Masz literówkę, powinno być
\(\displaystyle{ \left( \bigcup A \right) \times \left( \bigcup B \right) \subseteq \bigcup \left\{ X\times Y: X \in A, Y \in \red B \black\right\}.}\)
\(\displaystyle{ \left\langle a,b\right\rangle\in \bigcup \left\{ X\times Y: X \in A, Y \in B \right\} \Leftrightarrow (\exists X\in A)(\exists Y\in B)\left\langle a,b\right\rangle\in X\times Y,}\)
gdzie nie wiemy, czym są \(\displaystyle{ a,b}\) (tzn. nie znamy ich charakteru - mogą to być zbiory, mogą inne obiekty). To zależy, czym są elementy zbiorów należących do rodzin zbiorów \(\displaystyle{ A,B}\).
JK
\(\displaystyle{ \left( \bigcup A \right) \times \left( \bigcup B \right) \subseteq \bigcup \left\{ X\times Y: X \in A, Y \in \red B \black\right\}.}\)
Nie. Maszhack2yrjoy pisze:Nie wiem w ogóle, jak miałaby wyglądać suma zbioru po prawej stronie, bo elementami będzie para uporządkowana zbiorów, tak?
\(\displaystyle{ \left\langle a,b\right\rangle\in \bigcup \left\{ X\times Y: X \in A, Y \in B \right\} \Leftrightarrow (\exists X\in A)(\exists Y\in B)\left\langle a,b\right\rangle\in X\times Y,}\)
gdzie nie wiemy, czym są \(\displaystyle{ a,b}\) (tzn. nie znamy ich charakteru - mogą to być zbiory, mogą inne obiekty). To zależy, czym są elementy zbiorów należących do rodzin zbiorów \(\displaystyle{ A,B}\).
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 35
- Rejestracja: 4 sie 2017, o 11:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 4 razy
Dowodzenie inkluzji
No dobrze, ale ja iloczyn kartezjański mam na tych zbiorach należących do \(\displaystyle{ S}\). Bo dajmy przykład, że: \(\displaystyle{ \{e,f\} \in S, \{g,h,i\} \in S}\), więc para uporządkowana po wykonaniu iloczynu wyglądałby tak: \(\displaystyle{ (\{e,f\},\{g,h,i\})}\)?Jan Kraszewski pisze: Nie. Masz
\(\displaystyle{ \left\langle a,b\right\rangle\in \bigcup \left\{ X\times Y: X \in A, Y \in B \right\} \Leftrightarrow (\exists X\in A)(\exists Y\in B)\left\langle a,b\right\rangle\in X\times Y,}\)
gdzie nie wiemy, czym są \(\displaystyle{ a,b}\) (tzn. nie znamy ich charakteru - mogą to być zbiory, mogą inne obiekty). To zależy, czym są elementy zbiorów należących do rodzin zbiorów \(\displaystyle{ A,B}\).
-
- Administrator
- Posty: 34238
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Dowodzenie inkluzji
Co to jest \(\displaystyle{ S}\)? Co to znaczy "para uporządkowana po wykonaniu iloczynu wyglądałby tak"?
Para to para, iloczyn to iloczyn, nie myl tych pojęć. Jeśli \(\displaystyle{ \{e,f\} \in S, \{g,h,i\} \in S}\), to istotnie \(\displaystyle{ \left( \{e,f\}, \{g,h,i\}\right) \in S\times S}\). I tyle.
JK
Para to para, iloczyn to iloczyn, nie myl tych pojęć. Jeśli \(\displaystyle{ \{e,f\} \in S, \{g,h,i\} \in S}\), to istotnie \(\displaystyle{ \left( \{e,f\}, \{g,h,i\}\right) \in S\times S}\). I tyle.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 35
- Rejestracja: 4 sie 2017, o 11:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 4 razy
Re: Dowodzenie inkluzji
Racja, źle to ująłem. Tyle że no właśnie te elementy X i Y będą chyba takimi zbiorami, ponieważ jak napisałem na początku to mam narzucone z góry.Jan Kraszewski pisze:Co to jest \(\displaystyle{ S}\)? Co to znaczy "para uporządkowana po wykonaniu iloczynu wyglądałby tak"?
Para to para, iloczyn to iloczyn, nie myl tych pojęć. Jeśli \(\displaystyle{ \{e,f\} \in S, \{g,h,i\} \in S}\), to istotnie \(\displaystyle{ \left( \{e,f\}, \{g,h,i\}\right) \in S\times S}\). I tyle.
JK
Czyli właśnie takie elementy jakie dałem w przykładzie.hack2yrjoy pisze:Załóżmy, że mamy zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) których elementami są zbiory
hack2yrjoy pisze:Bo dajmy przykład, że: \(\displaystyle{ \{e,f\} \in S, \{g,h,i\} \in S}\)
-
- Administrator
- Posty: 34238
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Dowodzenie inkluzji
No dobrze, ale dalej nie wiem, z czym masz problem. I dalej nie napisałeś, co to jest \(\displaystyle{ S}\).
JK
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 1404
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 61 razy
- Pomógł: 83 razy
Dowodzenie inkluzji
Spróbuję.hack2yrjoy pisze:Byłbym wdzięczny, jakby ktoś chciał pomóc mi w zrozumieniu, nie do końca rozwiązaniu, dziękuje
- czyli masz dwie rodziny zbiorów.Załóżmy, że mamy zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) których elementami są zbiory
Czyli, zbiór będący sumą pierwszej rodziny zbiorów ( czyli \(\displaystyle{ \left( \bigcup A \right)}\)) pomnożony kartezjańsko przez zbiór będący sumą drugiej rodziny, taki iloczyn kartezjański ma się zawierać w sumie wszystkich iloczynów kartezjańskich postaci \(\displaystyle{ X \times Y}\), gdzie \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem z pierwszej rodziny, \(\displaystyle{ Y}\) jest zbiorem z drugiej rodziny.wtedy:
\(\displaystyle{ \left( \bigcup A \right) \times \left( \bigcup B \right) \subseteq \bigcup \left\{ X\times Y: X \in A, Y \in B \right\}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 35
- Rejestracja: 4 sie 2017, o 11:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 4 razy
Dowodzenie inkluzji
Teraz lepiej to rozumiem, dziękujeJakub Gurak pisze:Spróbuję.hack2yrjoy pisze:Byłbym wdzięczny, jakby ktoś chciał pomóc mi w zrozumieniu, nie do końca rozwiązaniu, dziękuje- czyli masz dwie rodziny zbiorów.Załóżmy, że mamy zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) których elementami są zbioryCzyli, zbiór będący sumą pierwszej rodziny zbiorów ( czyli \(\displaystyle{ \left( \bigcup A \right)}\)) pomnożony kartezjańsko przez zbiór będący sumą drugiej rodziny, taki iloczyn kartezjański ma się zawierać w sumie wszystkich iloczynów kartezjańskich postaci \(\displaystyle{ X \times Y}\), gdzie \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem z pierwszej rodziny, \(\displaystyle{ Y}\) jest zbiorem z drugiej rodziny.wtedy:
\(\displaystyle{ \left( \bigcup A \right) \times \left( \bigcup B \right) \subseteq \bigcup \left\{ X\times Y: X \in A, Y \in B \right\}}\)
Zbiór \(\displaystyle{ S}\) wymyśliłem na szybko żeby pokazać czy go dobrze rozumiem zagadnienieJan Kraszewski pisze:No dobrze, ale dalej nie wiem, z czym masz problem. I dalej nie napisałeś, co to jest \(\displaystyle{ S}\).
To teraz kolejny problem, jak dobrze zacząć ten dowód, jakieś założenie jak np: \(\displaystyle{ \left( x,y \right) \in \left( \bigcup A \right) \times \left( \bigcup B \right) \right)}\) ?
Ostatnio zmieniony 7 lis 2017, o 11:42 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 4 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34238
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Dowodzenie inkluzji
Pokaż dwa zawierania. Tak jak wyżej możesz zacząć dowód zawierania \(\displaystyle{ \subseteq}\). Teraz skorzystaj z definicji iloczynu kartezjańskiego, potem dwa razy z def. sumy uogólnionej, a potem popatrz, co dostałeś, a czego potrzebujesz, by zakończyć dowód. Może to prawie to samo?hack2yrjoy pisze:To teraz kolejny problem, jak dobrze zacząć ten dowód, jakieś założenie jak np: \(\displaystyle{ \left( x,y \right) \in \left( \bigcup A \right) \times \left( \bigcup B \right) \right)}\) ?
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 35
- Rejestracja: 4 sie 2017, o 11:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 4 razy
Re: Dowodzenie inkluzji
W sensie coś jak:\(\displaystyle{ \left( x,y \right) \in \left( \bigcup A \right) \times \left( \bigcup B \right) \right) \Rightarrow x \in \bigcup A \wedge y \in \bigcup B}\)Jan Kraszewski pisze: Teraz skorzystaj z definicji iloczynu kartezjańskiego
-
- Administrator
- Posty: 34238
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 35
- Rejestracja: 4 sie 2017, o 11:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 4 razy
Re: Dowodzenie inkluzji
Dobrze, a czy mogę teraz założyć że skoro \(\displaystyle{ x}\) należy do \(\displaystyle{ (\bigcup A)}\) to należy też do \(\displaystyle{ A}\) ?Jan Kraszewski pisze:Tak, ale zamiast znaczków lepiej pisz to słowami.
-
- Administrator
- Posty: 34238
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Dowodzenie inkluzji
No skąd! Znasz definicję sumy uogólnionej?hack2yrjoy pisze:czy mogę teraz założyć że skoro \(\displaystyle{ x}\) należy do \(\displaystyle{ \bigcup A}\) to należy też do \(\displaystyle{ A}\) ?
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 35
- Rejestracja: 4 sie 2017, o 11:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 4 razy
Re: Dowodzenie inkluzji
Jak widać niezbyt, chyba potrzebuje wyjaśnieniaJan Kraszewski pisze:No skąd! Znasz definicję sumy uogólnionej?hack2yrjoy pisze:czy mogę teraz założyć że skoro \(\displaystyle{ x}\) należy do \(\displaystyle{ \bigcup A}\) to należy też do \(\displaystyle{ A}\) ?
JK
-
- Administrator
- Posty: 34238
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Dowodzenie inkluzji
No cóż, ciężko rozwiązywać zadania nie znając definicji: ... e_formalne. Masz tam też definicję sumy uogólnionej.
JK
JK