Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ A,B \subset \RR}\) są ograniczone, \(\displaystyle{ A,B \subset \left[ 0,+ \infty \right]}\), to:
\(\displaystyle{ \sup \left( A \cdot B\right)=\left( \sup A\right) \cdot \left( \sup B\right)}\).
supremum iloczynu zbiorów
-
- Użytkownik
- Posty: 25
- Rejestracja: 22 sie 2017, o 10:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 9 razy
supremum iloczynu zbiorów
Ostatnio zmieniony 4 lis 2017, o 21:29 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot. Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot. Temat umieszczony w złym dziale.
-
- Użytkownik
- Posty: 25
- Rejestracja: 22 sie 2017, o 10:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 9 razy
supremum iloczynu zbiorów
Wiem jak z definicji napisać \(\displaystyle{ \sup A}\) i \(\displaystyle{ \sup B}\), ale później nie wiem jak zrobić aby oba były równe.
Zrobiłem już przykłady z \(\displaystyle{ \sup A+\sup B}\), mnożenie \(\displaystyle{ \sup A}\) przez skalar i przypadek z \(\displaystyle{ \sup A \cup \sup B}\).
Trzeba było w nich dowieźć rzeczy podobne.
Jednak tego przykładu nie potrafię zrobić, nie wiem jak się zabrac, proszę o wykonanie w całości tego dowodu.
Zrobiłem już przykłady z \(\displaystyle{ \sup A+\sup B}\), mnożenie \(\displaystyle{ \sup A}\) przez skalar i przypadek z \(\displaystyle{ \sup A \cup \sup B}\).
Trzeba było w nich dowieźć rzeczy podobne.
Jednak tego przykładu nie potrafię zrobić, nie wiem jak się zabrac, proszę o wykonanie w całości tego dowodu.
Ostatnio zmieniony 4 lis 2017, o 22:51 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
Re: supremum iloczynu zbiorów
Niech \(\displaystyle{ a\in A, b\in B}\). Wtedy \(\displaystyle{ a\le\sup A}\) oraz \(\displaystyle{ b\le\sup B}\). Więc \(\displaystyle{ ab\le\sup A\sup B}\). To prosta część. Druga jest równie prosta. Przechodzimy po lewej stronie do supremum wobec dowolności wyboru \(\displaystyle{ a,b}\).
Nad drugą nierównością zastanów się sam.
Nad drugą nierównością zastanów się sam.
-
- Użytkownik
- Posty: 25
- Rejestracja: 22 sie 2017, o 10:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 9 razy
supremum iloczynu zbiorów
Nie wiem jak zrobić naprawdę.
Proszę jeśli możesz wykonaj cały dowód, będę bardzo wdzięczny.
Proszę jeśli możesz wykonaj cały dowód, będę bardzo wdzięczny.
Re: supremum iloczynu zbiorów
Nie zrobię tego, bo to demoralizuje i niczego się nie nauczysz. Naszą misją nie jest odrabianie zadań domowych.
W poprzedniej odpowiedzi dałem \(\displaystyle{ 90\%}\) gotowca pokazującego nierówność \(\displaystyle{ \sup(A\cdot B)\le\sup A\cdot\sup B.}\) Dokończ to - wystarczy pół zdania.
Poczytaj o własnościach kresów zbiorów i spróbuj samodzielnie. Tylko wtedy możesz liczyć na pomoc.
W poprzedniej odpowiedzi dałem \(\displaystyle{ 90\%}\) gotowca pokazującego nierówność \(\displaystyle{ \sup(A\cdot B)\le\sup A\cdot\sup B.}\) Dokończ to - wystarczy pół zdania.
Poczytaj o własnościach kresów zbiorów i spróbuj samodzielnie. Tylko wtedy możesz liczyć na pomoc.