Relacja równoważności i klasa abstrakcji elementu
: 3 lis 2017, o 00:23
\(\displaystyle{ \left( a-b\right) R \left( c-d\right) \Leftrightarrow a-b=c-d}\)
\(\displaystyle{ \NN^{2}}\)
Zwrotna
\(\displaystyle{ \bigwedge x \in X xRx}\)
zgodnie z definicją
\(\displaystyle{ \left( a,b\right) R \left( a,b\right) \Leftrightarrow \left( a-b\right) R \left( a-b\right)}\)
Relacja jest zwrotna, ponieważ dla dowolnych liczba naturalnych prawdą jest, że ta sama liczba \(\displaystyle{ b}\) odjęta od tej samej liczby \(\displaystyle{ a}\) da zawsze jednakowy wynik.
Symetryczna
\(\displaystyle{ \bigwedge x,y \in X \left( xRy\right) \Rightarrow \left( yRx\right)}\)
zgodnie z definicją
\(\displaystyle{ \left( a,b\right) R \left( c,d\right) \Rightarrow \left( c,d\right) R \left( a,b\right)}\)
\(\displaystyle{ \left( a-b\right) R \left( c-d\right) \Rightarrow \left( c-d\right) R \left( a-b\right)}\)
Relacja jest symetryczna, ponieważ dla dowolnej różnicy dwóch liczb ze zbioru liczb naturalnych jesteśmy w stanie znaleźć inną różnicę dwóch liczb naturalnych równą uzyskanemu wynikowi.
\(\displaystyle{ \left[ np. a=6, b=2 i c=36, d=32; 6-2=4 i 32-28=4; 4=4;\right]}\) - pewnie nie mogłabym za bardzo załączyć tego w rozwiązaniu?
Przechodnia
\(\displaystyle{ \left( a,b\right) R \left( c,d\right) \Rightarrow \left( c,d\right) R \left( e,f\right)}\)
\(\displaystyle{ \left( a-b\right) R \left( c-d\right) \Rightarrow \left( c-d\right) R \left( e-f\right)}\)
założenia:
\(\displaystyle{ \left( a-b\right) = \left( c-d\right) \vee \left( c-d\right) = \left( e-f\right)}\)
Relacja jest przechodnia jeśli wynik różnic każdej z par uporządkowanych branych pod uwagę w relacji osiąga tę samą wartość. Stąd jeśli wynik uzyskany przez parę \(\displaystyle{ \left( a,b\right)}\) będzie równy wynikowi uzyskanemu przez parę \(\displaystyle{ \left( c,d\right)}\) to tym samym para \(\displaystyle{ \left( a,b\right)}\) będzie pozostawała w relacji z parą \(\displaystyle{ \left( e,f\right)}\).
Ponieważ jesteśmy w stanie znaleźć nieskończenie wiele par liczb naturalnych spełniających założenie - relacja jest przechodnia.
Klasa abstrakcji dla elementu \(\displaystyle{ [1,1]}\)
z definicji
\(\displaystyle{ \left[ x\right] =\left\{ y \in X:yRx\right\}}\)
\(\displaystyle{ \left[ 1,1\right] =\left( 1,1\right) R \left( a,b\right)}\)
\(\displaystyle{ \left[ 1,1\right] =0=a-b}\)
\(\displaystyle{ a=b}\)
\(\displaystyle{ x=x}\)
Klasa abstrakcji elementu \(\displaystyle{ \left[ 1,1\right] = \left\{ x,x : x \in X\right\}}\)
\(\displaystyle{ \NN^{2}}\)
Zwrotna
\(\displaystyle{ \bigwedge x \in X xRx}\)
zgodnie z definicją
\(\displaystyle{ \left( a,b\right) R \left( a,b\right) \Leftrightarrow \left( a-b\right) R \left( a-b\right)}\)
Relacja jest zwrotna, ponieważ dla dowolnych liczba naturalnych prawdą jest, że ta sama liczba \(\displaystyle{ b}\) odjęta od tej samej liczby \(\displaystyle{ a}\) da zawsze jednakowy wynik.
Symetryczna
\(\displaystyle{ \bigwedge x,y \in X \left( xRy\right) \Rightarrow \left( yRx\right)}\)
zgodnie z definicją
\(\displaystyle{ \left( a,b\right) R \left( c,d\right) \Rightarrow \left( c,d\right) R \left( a,b\right)}\)
\(\displaystyle{ \left( a-b\right) R \left( c-d\right) \Rightarrow \left( c-d\right) R \left( a-b\right)}\)
Relacja jest symetryczna, ponieważ dla dowolnej różnicy dwóch liczb ze zbioru liczb naturalnych jesteśmy w stanie znaleźć inną różnicę dwóch liczb naturalnych równą uzyskanemu wynikowi.
\(\displaystyle{ \left[ np. a=6, b=2 i c=36, d=32; 6-2=4 i 32-28=4; 4=4;\right]}\) - pewnie nie mogłabym za bardzo załączyć tego w rozwiązaniu?
Przechodnia
\(\displaystyle{ \left( a,b\right) R \left( c,d\right) \Rightarrow \left( c,d\right) R \left( e,f\right)}\)
\(\displaystyle{ \left( a-b\right) R \left( c-d\right) \Rightarrow \left( c-d\right) R \left( e-f\right)}\)
założenia:
\(\displaystyle{ \left( a-b\right) = \left( c-d\right) \vee \left( c-d\right) = \left( e-f\right)}\)
Relacja jest przechodnia jeśli wynik różnic każdej z par uporządkowanych branych pod uwagę w relacji osiąga tę samą wartość. Stąd jeśli wynik uzyskany przez parę \(\displaystyle{ \left( a,b\right)}\) będzie równy wynikowi uzyskanemu przez parę \(\displaystyle{ \left( c,d\right)}\) to tym samym para \(\displaystyle{ \left( a,b\right)}\) będzie pozostawała w relacji z parą \(\displaystyle{ \left( e,f\right)}\).
Ponieważ jesteśmy w stanie znaleźć nieskończenie wiele par liczb naturalnych spełniających założenie - relacja jest przechodnia.
Klasa abstrakcji dla elementu \(\displaystyle{ [1,1]}\)
z definicji
\(\displaystyle{ \left[ x\right] =\left\{ y \in X:yRx\right\}}\)
\(\displaystyle{ \left[ 1,1\right] =\left( 1,1\right) R \left( a,b\right)}\)
\(\displaystyle{ \left[ 1,1\right] =0=a-b}\)
\(\displaystyle{ a=b}\)
\(\displaystyle{ x=x}\)
Klasa abstrakcji elementu \(\displaystyle{ \left[ 1,1\right] = \left\{ x,x : x \in X\right\}}\)