Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ P' \left( \mathbb{N} \right) =P \left( \mathbb{N} \right) - \left\{ \varnothing \right\}}\) i niech \(\displaystyle{ f: P' \left( \mathbb{N} \right)
\times P' \left( \mathbb{N} \right) \rightarrow P \left( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \right)}\) będzie taka, że \(\displaystyle{ f \left( \left\langle C,D \right\rangle \right) =C \times D}\), dla dowolnych \(\displaystyle{ C, D \subseteq \mathbb{N}}\). Czy \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa i czy jest na \(\displaystyle{ P \left( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \right)}\)? Znajdź \(\displaystyle{ f^{-1} \left( P \left( Parz \times Parz \right) \right)}\), gdzie \(\displaystyle{ Parz}\) oznacza zbiór wszystkich liczb parzystych.

Czy poniższe rozwiązanie jest poprawne?

a) "na"
\(\displaystyle{ \varnothing \in P \left( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \right)}\) i dla dowolnych \(\displaystyle{ C, D \subseteq \mathbb{N}}\) mamy \(\displaystyle{ C \times D \neq \varnothing}\), więc \(\displaystyle{ f}\) nie jest na \(\displaystyle{ P \left( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \right)}\).

b) 1-1
\(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa, bo dla dowolnych \(\displaystyle{ C, D, E, F \subseteq \mathbb{N}}\) takich, że:
\(\displaystyle{ C \neq E, D \neq F \\
C= \left\{ c_{1},c_{2},...,c_{n} \right\} , n \in \mathbb{N} \\
D= \left\{ d_{1},d_{2},...,d_{m} \right\} , m \in \mathbb{N} \\
E= \left\{ e_{1},e_{2},...,e_{k} \right\} , k \in \mathbb{N} \\
F= \left\{ f_{1},f_{2},...,f_{l} \right\} , l \in \mathbb{N}}\)
mamy:
\(\displaystyle{ f \left( \left\langle C,D \right\rangle \right) =C \times D = \left\{ \left\langle c_{1},d_{1} \right\rangle, \left\langle c_{1}, d_{2} \right\rangle,...,\left\langle c_{n},d_{m} \right\rangle \right\} \neq\\ \neq
\left\{ \left\langle e_{1},f_{1} \right\rangle, \left\langle e_{1}, f_{2} \right\rangle,...,\left\langle e_{k},f_{l} \right\rangle \right\} = E \times F = f \left( \left\langle E,F \right\rangle \right)}\)

c) \(\displaystyle{ f^{-1} \left( P \left( Parz \times Parz \right) \right) =P' \left( Parz \right)
\times P' \left( Parz \right)}\)

adda16 pisze:a) "na"
\(\displaystyle{ \varnothing \in P \left( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \right)}\) i dla dowolnych \(\displaystyle{ C, D \subseteq \mathbb{N}}\) mamy \(\displaystyle{ C \times D \neq \varnothing}\), więc \(\displaystyle{ f}\) nie jest na \(\displaystyle{ P \left( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \right)}\).

Dobrze, o ile poprawisz na "dla dowolnych \(\displaystyle{ C, D \subseteq \mathbb{N}, \red C,D\neq\emptyset}\) mamy".

adda16 pisze:b) 1-1
\(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa, bo dla dowolnych \(\displaystyle{ C, D, E, F \subseteq \mathbb{N}}\) takich, że:
\(\displaystyle{ C \neq E, D \neq F\\
C= \left\{ c_{1},c_{2},...,c_{n} \right\} , n \in \mathbb{N} \\
D= \left\{ d_{1},d_{2},...,d_{m} \right\} , m \in \mathbb{N} \\
E= \left\{ e_{1},e_{2},...,e_{k} \right\} , k \in \mathbb{N} \\
F= \left\{ f_{1},f_{2},...,f_{l} \right\} , l \in \mathbb{N}}\)
mamy:
\(\displaystyle{ f \left( \left\langle C,D \right\rangle \right) =C \times D = \left\{ \left\langle c_{1},d_{1} \right\rangle, \left\langle c_{1}, d_{2} \right\rangle,...,\left\langle c_{n},d_{m} \right\rangle \right\} \neq\\ \neq
\left\{ \left\langle e_{1},f_{1} \right\rangle, \left\langle e_{1}, f_{2} \right\rangle,...,\left\langle e_{k},f_{l} \right\rangle \right\} = E \times F = f \left( \left\langle E,F \right\rangle \right)}\)

Spostrzeżenie słuszne, argument niestety nie. Musisz pokazać, że dla dowolnych \(\displaystyle{ \left\langle C,D\right\rangle,\left\langle E,F\right\rangle\in P' \left( \mathbb{N} \right) \times P' \left( \mathbb{N} \right)}\) takich, że \(\displaystyle{ \left\langle C,D\right\rangle\neq\left\langle E,F\right\rangle}\) zachodzi \(\displaystyle{ f(\left\langle C,D\right\rangle)\neq f(\left\langle E,F\right\rangle)}\), a to jest dość dalekie od tego, co zrobiłaś.

Zresztą, wygodniej byłoby założyć, że \(\displaystyle{ f(\left\langle C,D\right\rangle)= f(\left\langle E,F\right\rangle)}\) i pokazać, że wtedy \(\displaystyle{ \left\langle C,D\right\rangle=\left\langle E,F\right\rangle}\). Wówczas dowód sprowadza się do znanego twierdzenia (które albo znamy, albo musimy dowieść):

Jeśli \(\displaystyle{ A,B,C,D\in P'(\NN)}\), to \(\displaystyle{ A\times B=C\times D \Rightarrow A=C\land B=D}\).

adda16 pisze:c) \(\displaystyle{ f^{-1} \left( P \left( Parz \times Parz \right) \right) =P' \left( Parz \right)
\times P' \left( Parz \right)}\)

Dobrze.

JK

Dziękuję!

Jeśli zakładam, że:
\(\displaystyle{ \red C,D\neq\emptyset}\)

to muszę określać przypadek gdy

\(\displaystyle{ C= \emptyset \vee D=\emptyset}\)

No skąd, przecież \(\displaystyle{ C,D\in P'(\NN)}\).

JK

Co prawda rozwiązanie pieszej części jest poprawne, ale warto zwrócić uwagę na dużo istotniejszą przyczynę nie bycia "na"

Prócz obrazami są "prostokąty" (w pewnym sensie, oczywiście) a istnieje bardzo dużo podzbiorow, która prostokątami nie są.

Zgadza się, ale najprościej pokazać ze zbiorem pustym...

JK