Matematyka.pl

Czy zna ktoś jakieś mniej trywialne i mniej sztampowe zadania ze zbiorów na indukcję, funktory \(\displaystyle{ \cup , \cap , \setminus ,\div}\), zbiory potęgowe, funkcje zdaniowe (bez sum, iloczynów indeksowanych/uogólnionych, funkcji, relacji, mocy zbiorów nieskończonych, porządków etc.) oraz na rachunek predykatów? Potrzebuję przećwiczyć.

Zobacz, tu: . Znajdziesz tu, wiele nietypowych zadań/dowodów. Zwróć uwagę też, że najprostsze własności sumy dwóch zbiorów, zostały dowiedzione nietypowo... W ćwiczeniu 5.2.

Możesz też zobaczyć do rozdziału drugiego, z tej logiki i teorii mnogości na ważniaku, tj. rachunek zdań (znajdziesz tam np. nietypowe dowody indukcyjne). Rozdział 3, tj. rachunek predykatów, to na uwagę zasługuję ostatnia część tego wykładu, tj. modele. Szczególnie polecam zadanie, w którym modelem są wszystkie punkty, odcinki i okręgi płaszczyzny... Albo też, wielkim podziwem darzę dowód ( którego jeszcze nie rozumiem), który jest w przedostatnim zadaniu tego rozdziału, że w dowolnym ustalonym modelu, prawdziwa jest formuła

\(\displaystyle{ \displaystyle \forall_x r(x, f(x)) \Rightarrow \forall_x \exists_y r(x,y)}\).

W kolejnym rozdziale masz dowód własności charakterystycznej pary uporządkowanej, a w dodatku dla dociekliwych masz nieszczęsny dowód istnienia iloczynu kartezjańskiego dwóch zbiorów ( ale Tobie pewnie, taki formalizm się spodoba ). I w ostatnim wykładzie masz liczby porządkowe (ale myślę, że to będzie dobre ćwiczenie na zbiorach), np. możesz przećwiczyć, że jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest liczbą porządkową, to \(\displaystyle{ X \cup \left\{ X\right\}}\) jest liczbą porządkową. Poprzeglądaj sobie... Bo ogólniej, powiem na przyszłość, na ważniaku, w logice i teorii mnogości jest dużo nietypowych zadań.

Dodam jeszcze, własne, ulubione zadanie:

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie dowolnym zbiorem. Wyznacz \(\displaystyle{ X \cap \left\{ X\right\}}\).