Wyznaczenie kresu dolnego

[Irevall]

Treść zadania:
Znajdż kresy górny i dolny zbioru
\(\displaystyle{ left{ frac{1}{n}+ frac{1}{k};n,k in N
ight}}\)
Górny kres to oczywiście 2, z tym nie zamierzam się sprzeczać.
Jednak wg. ćwiczeniowca oraz poprzedniego tematu z forum na ten temat:
155494.htm
a dokładniej tego fragmentu:
155494.htm#p581218
Wynika, że kres dolny to \(\displaystyle{ 0}\).
Moim zdaniem ten zbiór nie posiada kresu dolnego.
Przekształćmy więc:
\(\displaystyle{ frac{1}{n}+ frac{1}{k} = frac{n+k}{n cdot k}}\)

Skoro \(\displaystyle{ n,k ge 1}\) (bo należą do \(\displaystyle{ NN}\))

więc \(\displaystyle{ n+k ge 2}\)

więc \(\displaystyle{ frac{n+k}{n cdot k}>frac{1}{n cdot k}>0}\)
Więc istnieje taka liczba która jest mniejsza od zbioru, a większa od \(\displaystyle{ 0}\), więc \(\displaystyle{ 0}\) nie może być kresem dolnym.

Prosiłbym o wykazanie błędu w moim rozumowaniu, jeśli taki istnieje.

[szw1710]

Kresem dolnym jest zero, bo oba ułamki mogą być dowolnie małe, więc i suma może być dowolnie mała.

Niech \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\). Bierzemy \(\displaystyle{ n,k\in\NN}\) obie większe od \(\displaystyle{ \frac{2}{\varepsilon}.}\) Wtedy \(\displaystyle{ 0<\frac{1}{n}+\frac{1}{k}<\varepsilon.}\)

[Irevall]

Czyli nie ma różnicy, czy mamy, 2, 3, 50, ilekolwiek 'dowolnie małych' ułamków?

[szw1710]

Musimy mieć przynajmniej jeden, ale istotnie jest ich tu nieskończenie wiele.

[Irevall]

Ok, to załóżmy
\(\displaystyle{ x \in \NN}\)

Skoro tak jak mówisz dla \(\displaystyle{ y \ge 1}\):
\(\displaystyle{ y \cdot \frac{1}{x}}\)
Dla \(\displaystyle{ y=1, y=2}\), etc.
Kres dolny to \(\displaystyle{ 0}\).
To w takim razie dla:
\(\displaystyle{ x=y}\)
Kres dolny to również \(\displaystyle{ 0}\)?
No nie wydaje mi się, tak samo jak nie wydaje mi się, żeby licznik nie robił różnicy.

-- 22 paź 2017, o 22:46 --

Okey, to co zgubiłem to ta część wiadomości o kresach, że muszą być liczbami... stałymi, więc moje dziwne przekształcenia na:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n \cdot k}}\)
są bezużyteczne, bo powstaje mi inny kres dla każdego \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ k}\).
Granica dolna to \(\displaystyle{ 0}\), tak, teraz się zgadzam.