Rozszerzyć działanie dodawania na l. niewym.
: 21 paź 2017, o 00:31
Od razu przepraszam, jeżeli zły dział :< Szukałem sensownego miejsca na moje pytanie w działach "Analiza"(bo chodzi o liczby rzeczywiste) albo "Algebra" ale chyba takie rzeczy najczęściej widzę w podręcznikach "Teorii mnogości" :-/
Podczas lektury trafiłem w książce na dowód i nie jestem pewien, czy go do końca rozumiem
Przytoczę go tutaj i spróbuję opisać gdzie mam problem, mam nadzieję, że jakaś dobra dusza rozjaśni mi sprawę (która nie jest pilna, ale bardzo chciałbym to zrozumieć ^^).
Z zasady gęstości(w książce Aksjomat gęstości) i Aksjomatu Dedekinda:
Dla każdego \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\) prawdziwa jest nierówność \(\displaystyle{ x=\sup \{ w \in \mathbb{Q} : w < x \}=\inf \{ w \in \mathbb{Q} : x < w \}}\)
(- ok, zgadza się z intuicją; tutaj autorzy jeszcze udowadniają, że rzeczony zbiór jest ograniczony z góry (z zasady gęstości; myślę, że rozumiem))
Działanie dodawania na liczbach rzeczywistych określamy następująco:
\(\displaystyle{ x + y = \sup \{ w + v : w, v \in \mathbb{Q}}\) oraz \(\displaystyle{ w < x}\) i \(\displaystyle{ v < y \}}\)
Powyższy wzór rozszerza działanie dodawania ze zbioru liczb wymiernych na zbiór liczb rzeczywistych. Niech \(\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Q}}\). Jeśli \(\displaystyle{ w < a}\) i \(\displaystyle{ v < b}\), to \(\displaystyle{ w+v<a + b}\).
Tak więc \(\displaystyle{ \sup \{ w + v : w, v \in \mathbb{Q}}\) i \(\displaystyle{ w < a}\) i \(\displaystyle{ v < b \} \leq a+b}\).
(-ok. Czyli wystarczyłoby, żeby kres tego zbioru był równocześnie mniejszy lub równy \(\displaystyle{ a+b}\) i jesteśmy w domu. Jednak teraz zacznie się problem.)
Ustalmy liczbę wymierną \(\displaystyle{ q < a+b}\). Wtedy istnieją takie liczby wymierne \(\displaystyle{ w_1, w_2}\), że:
\(\displaystyle{ a - \frac{a+b-q}{2}<w_1 < a}\) i \(\displaystyle{ b - \frac{a+b-q}{2}<w_2<b}\).
Wtedy \(\displaystyle{ q < w_1 + w_2}\) (no spoko, dodać stronami i jest), a wobec tego \(\displaystyle{ a+b=\sup \{ w+v : w, v \in \mathbb{Q}}\) oraz \(\displaystyle{ w < a}\) i \(\displaystyle{ v < b \}}\).
Teraz; co ja z tej ostatniej części rozumiem (nieściśle) :
Ja sobie oznaczę ten rozważany w dowodzie zbiór jako \(\displaystyle{ A_{a, b}}\).
W całym dowodzie chodzi o to aby pokazać, że definicja sumy liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a, b}\) jako kresu zbioru \(\displaystyle{ A_{a, b}}\) zgadza się w przypadku liczb wymiernych.
Autorzy dowodzą, że jeżeli \(\displaystyle{ q \in \mathbb{Q}}\) spełnia \(\displaystyle{ q < a+b}\), to \(\displaystyle{ q \neq \sup a}\) - bo dowolne \(\displaystyle{ w_1+w_2}\) określone jak w dowodzie jest większe od \(\displaystyle{ q}\) - dobrze?
I stąd mam rozumieć, że gdyby było \(\displaystyle{ q=a+b}\), to byłoby \(\displaystyle{ a+b=q>w_1+w_2}\)?
Stąd można powiedzieć, że \(\displaystyle{ q=a+b=\sup A_{a, b}}\) (gdyż \(\displaystyle{ w_1+w_2}\) dowolne należące do \(\displaystyle{ A_{a, b}}\))?
Mamy, że ta definicja sumy "kresowa" jest zgodna z tym ile wynosi suma liczb wymiernych a dla niewymiernych - no... jest definicją to nie ma czego dowodzić, poza tym, że taka liczba istnieje i jest jednoznacznie wyznaczona; ale to wynika z Aksjomatu Dedekinda, definicji kresu zbioru i Zasady Gęstości?
Dobrze? Źle? Trochę dobrze, trochę źle? :<
Niestety u nas na wstępie do matematyki nie doszliśmy nawet do konstrukcji liczbowych , na analizie wszystkie te kwestie z liczbami wymiernymi, gęstością, ciągłością, zupełnością wspomniane, jakieś wyjaśnienia "przemachane rękoma" i jakoś tak mi z tym źle; bo za wiele z tego nie wyniosłem. A ostatnio mam trochę czasu to odkurzyłem podręczniki : P
Podczas lektury trafiłem w książce na dowód i nie jestem pewien, czy go do końca rozumiem
Przytoczę go tutaj i spróbuję opisać gdzie mam problem, mam nadzieję, że jakaś dobra dusza rozjaśni mi sprawę (która nie jest pilna, ale bardzo chciałbym to zrozumieć ^^).
Z zasady gęstości(w książce Aksjomat gęstości) i Aksjomatu Dedekinda:
Dla każdego \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\) prawdziwa jest nierówność \(\displaystyle{ x=\sup \{ w \in \mathbb{Q} : w < x \}=\inf \{ w \in \mathbb{Q} : x < w \}}\)
(- ok, zgadza się z intuicją; tutaj autorzy jeszcze udowadniają, że rzeczony zbiór jest ograniczony z góry (z zasady gęstości; myślę, że rozumiem))
Działanie dodawania na liczbach rzeczywistych określamy następująco:
\(\displaystyle{ x + y = \sup \{ w + v : w, v \in \mathbb{Q}}\) oraz \(\displaystyle{ w < x}\) i \(\displaystyle{ v < y \}}\)
Powyższy wzór rozszerza działanie dodawania ze zbioru liczb wymiernych na zbiór liczb rzeczywistych. Niech \(\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Q}}\). Jeśli \(\displaystyle{ w < a}\) i \(\displaystyle{ v < b}\), to \(\displaystyle{ w+v<a + b}\).
Tak więc \(\displaystyle{ \sup \{ w + v : w, v \in \mathbb{Q}}\) i \(\displaystyle{ w < a}\) i \(\displaystyle{ v < b \} \leq a+b}\).
(-ok. Czyli wystarczyłoby, żeby kres tego zbioru był równocześnie mniejszy lub równy \(\displaystyle{ a+b}\) i jesteśmy w domu. Jednak teraz zacznie się problem.)
Ustalmy liczbę wymierną \(\displaystyle{ q < a+b}\). Wtedy istnieją takie liczby wymierne \(\displaystyle{ w_1, w_2}\), że:
\(\displaystyle{ a - \frac{a+b-q}{2}<w_1 < a}\) i \(\displaystyle{ b - \frac{a+b-q}{2}<w_2<b}\).
Wtedy \(\displaystyle{ q < w_1 + w_2}\) (no spoko, dodać stronami i jest), a wobec tego \(\displaystyle{ a+b=\sup \{ w+v : w, v \in \mathbb{Q}}\) oraz \(\displaystyle{ w < a}\) i \(\displaystyle{ v < b \}}\).
Teraz; co ja z tej ostatniej części rozumiem (nieściśle) :
Ja sobie oznaczę ten rozważany w dowodzie zbiór jako \(\displaystyle{ A_{a, b}}\).
W całym dowodzie chodzi o to aby pokazać, że definicja sumy liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a, b}\) jako kresu zbioru \(\displaystyle{ A_{a, b}}\) zgadza się w przypadku liczb wymiernych.
Autorzy dowodzą, że jeżeli \(\displaystyle{ q \in \mathbb{Q}}\) spełnia \(\displaystyle{ q < a+b}\), to \(\displaystyle{ q \neq \sup a}\) - bo dowolne \(\displaystyle{ w_1+w_2}\) określone jak w dowodzie jest większe od \(\displaystyle{ q}\) - dobrze?
I stąd mam rozumieć, że gdyby było \(\displaystyle{ q=a+b}\), to byłoby \(\displaystyle{ a+b=q>w_1+w_2}\)?
Stąd można powiedzieć, że \(\displaystyle{ q=a+b=\sup A_{a, b}}\) (gdyż \(\displaystyle{ w_1+w_2}\) dowolne należące do \(\displaystyle{ A_{a, b}}\))?
Mamy, że ta definicja sumy "kresowa" jest zgodna z tym ile wynosi suma liczb wymiernych a dla niewymiernych - no... jest definicją to nie ma czego dowodzić, poza tym, że taka liczba istnieje i jest jednoznacznie wyznaczona; ale to wynika z Aksjomatu Dedekinda, definicji kresu zbioru i Zasady Gęstości?
Dobrze? Źle? Trochę dobrze, trochę źle? :<
Niestety u nas na wstępie do matematyki nie doszliśmy nawet do konstrukcji liczbowych , na analizie wszystkie te kwestie z liczbami wymiernymi, gęstością, ciągłością, zupełnością wspomniane, jakieś wyjaśnienia "przemachane rękoma" i jakoś tak mi z tym źle; bo za wiele z tego nie wyniosłem. A ostatnio mam trochę czasu to odkurzyłem podręczniki : P