Rozszerzyć działanie dodawania na l. niewym.

[Zaratustra]

Od razu przepraszam, jeżeli zły dział :< Szukałem sensownego miejsca na moje pytanie w działach "Analiza"(bo chodzi o liczby rzeczywiste) albo "Algebra" ale chyba takie rzeczy najczęściej widzę w podręcznikach "Teorii mnogości" :-/

Podczas lektury trafiłem w książce na dowód i nie jestem pewien, czy go do końca rozumiem
Przytoczę go tutaj i spróbuję opisać gdzie mam problem, mam nadzieję, że jakaś dobra dusza rozjaśni mi sprawę (która nie jest pilna, ale bardzo chciałbym to zrozumieć ^^).

Z zasady gęstości(w książce Aksjomat gęstości) i Aksjomatu Dedekinda:
Dla każdego \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\) prawdziwa jest nierówność \(\displaystyle{ x=\sup \{ w \in \mathbb{Q} : w < x \}=\inf \{ w \in \mathbb{Q} : x < w \}}\)
(- ok, zgadza się z intuicją; tutaj autorzy jeszcze udowadniają, że rzeczony zbiór jest ograniczony z góry (z zasady gęstości; myślę, że rozumiem))
Działanie dodawania na liczbach rzeczywistych określamy następująco:
\(\displaystyle{ x + y = \sup \{ w + v : w, v \in \mathbb{Q}}\) oraz \(\displaystyle{ w < x}\) i \(\displaystyle{ v < y \}}\)
Powyższy wzór rozszerza działanie dodawania ze zbioru liczb wymiernych na zbiór liczb rzeczywistych. Niech \(\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Q}}\). Jeśli \(\displaystyle{ w < a}\) i \(\displaystyle{ v < b}\), to \(\displaystyle{ w+v<a + b}\).
Tak więc \(\displaystyle{ \sup \{ w + v : w, v \in \mathbb{Q}}\) i \(\displaystyle{ w < a}\) i \(\displaystyle{ v < b \} \leq a+b}\).
(-ok. Czyli wystarczyłoby, żeby kres tego zbioru był równocześnie mniejszy lub równy \(\displaystyle{ a+b}\) i jesteśmy w domu. Jednak teraz zacznie się problem.)
Ustalmy liczbę wymierną \(\displaystyle{ q < a+b}\). Wtedy istnieją takie liczby wymierne \(\displaystyle{ w_1, w_2}\), że:
\(\displaystyle{ a - \frac{a+b-q}{2}<w_1 < a}\) i \(\displaystyle{ b - \frac{a+b-q}{2}<w_2<b}\).
Wtedy \(\displaystyle{ q < w_1 + w_2}\) (no spoko, dodać stronami i jest), a wobec tego \(\displaystyle{ a+b=\sup \{ w+v : w, v \in \mathbb{Q}}\) oraz \(\displaystyle{ w < a}\) i \(\displaystyle{ v < b \}}\).

Teraz; co ja z tej ostatniej części rozumiem (nieściśle) :
Ja sobie oznaczę ten rozważany w dowodzie zbiór jako \(\displaystyle{ A_{a, b}}\).
W całym dowodzie chodzi o to aby pokazać, że definicja sumy liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a, b}\) jako kresu zbioru \(\displaystyle{ A_{a, b}}\) zgadza się w przypadku liczb wymiernych.
Autorzy dowodzą, że jeżeli \(\displaystyle{ q \in \mathbb{Q}}\) spełnia \(\displaystyle{ q < a+b}\), to \(\displaystyle{ q \neq \sup a}\) - bo dowolne \(\displaystyle{ w_1+w_2}\) określone jak w dowodzie jest większe od \(\displaystyle{ q}\) - dobrze?
I stąd mam rozumieć, że gdyby było \(\displaystyle{ q=a+b}\), to byłoby \(\displaystyle{ a+b=q>w_1+w_2}\)?
Stąd można powiedzieć, że \(\displaystyle{ q=a+b=\sup A_{a, b}}\) (gdyż \(\displaystyle{ w_1+w_2}\) dowolne należące do \(\displaystyle{ A_{a, b}}\))?
Mamy, że ta definicja sumy "kresowa" jest zgodna z tym ile wynosi suma liczb wymiernych a dla niewymiernych - no... jest definicją to nie ma czego dowodzić, poza tym, że taka liczba istnieje i jest jednoznacznie wyznaczona; ale to wynika z Aksjomatu Dedekinda, definicji kresu zbioru i Zasady Gęstości?
Dobrze? Źle? Trochę dobrze, trochę źle? :<

Niestety u nas na wstępie do matematyki nie doszliśmy nawet do konstrukcji liczbowych , na analizie wszystkie te kwestie z liczbami wymiernymi, gęstością, ciągłością, zupełnością wspomniane, jakieś wyjaśnienia "przemachane rękoma" i jakoś tak mi z tym źle; bo za wiele z tego nie wyniosłem. A ostatnio mam trochę czasu to odkurzyłem podręczniki : P

[matmatmm]

Ustalmy liczbę wymierną \(\displaystyle{ q < a+b}\). Wtedy istnieją takie liczby wymierne \(\displaystyle{ w_1, w_2}\), że:
\(\displaystyle{ a - \frac{a+b-q}{2}<w_1 < a}\) i \(\displaystyle{ b - \frac{a+b-q}{2}<w_2<b}\).
Wtedy \(\displaystyle{ q < w_1 + w_2}\) (no spoko, dodać stronami i jest), a wobec tego \(\displaystyle{ a+b=\sup \{ w+v : w, v \in \mathbb{Q}}\) oraz \(\displaystyle{ w < a}\) i \(\displaystyle{ v < b \}}\).

W tym kroku chodzi o pokazanie, że żadna liczba mniejsza od \(\displaystyle{ a+b}\) nie jest ograniczeniem górnym, co znaczy, że dla każdego \(\displaystyle{ q<a+b}\) istnieje element \(\displaystyle{ \xi\in \{ w + v : w, v \in \mathbb{Q}}\) i \(\displaystyle{ w < a}\) i \(\displaystyle{ v < b \}}\) taki, że \(\displaystyle{ q<\xi}\). Mam jednak wrażenie, że ten dowód jest niekompletny, bo założono, że \(\displaystyle{ q\in\QQ}\).

EDIT. Można uzupełnić ten dowód tak:
\(\displaystyle{ q<\sup A_{a,b}}\)
\(\displaystyle{ a+b=\sup\{q\in \QQ: q<a+b\}\le\sup A_{a,b}=a+b}\)
Po lewej mamy dodawanie wymierne, a po prawej rzeczywiste.

Autorzy dowodzą, że jeżeli \(\displaystyle{ q \in \mathbb{Q}}\) spełnia \(\displaystyle{ q < a+b}\), to \(\displaystyle{ q \neq \sup a}\) - bo dowolne \(\displaystyle{ w_1+w_2}\) określone jak w dowodzie jest większe od \(\displaystyle{ q}\) - dobrze?

Nie do końca. Dowodzą, że jeżeli \(\displaystyle{ q \in \mathbb{Q}}\) spełnia \(\displaystyle{ q < a+b}\), to istnieją \(\displaystyle{ w_1,w_2}\) takie, że \(\displaystyle{ w_1+w_2\in A_{a,b}}\) oraz \(\displaystyle{ w_1+w_2>q}\) i wobec tego \(\displaystyle{ q}\) nie jest ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ A_{a,b}}\)

I stąd mam rozumieć, że gdyby było \(\displaystyle{ q=a+b}\), to byłoby \(\displaystyle{ a+b=q>w_1+w_2}\)?

Gdyby było \(\displaystyle{ q=a+b}\), to dowód się sypie, bo nie istnieją \(\displaystyle{ w_1,w_2}\), które spełniają te nierówności.

[Zaratustra]

Autorzy dowodzą, że jeżeli \(\displaystyle{ q \in \mathbb{Q}}\) spełnia \(\displaystyle{ q < a+b}\), to \(\displaystyle{ q \neq \sup a}\) - bo dowolne \(\displaystyle{ w_1+w_2}\) określone jak w dowodzie jest większe od \(\displaystyle{ q}\) - dobrze?

Nie do końca. Dowodzą, że jeżeli \(\displaystyle{ q \in \mathbb{Q}}\) spełnia \(\displaystyle{ q < a+b}\), to istnieją \(\displaystyle{ w_1,w_2}\) takie, że \(\displaystyle{ w_1+w_2\in A_{a,b}}\) oraz \(\displaystyle{ w_1+w_2>q}\) i wobec tego \(\displaystyle{ q}\) nie jest ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ A_{a,b}}\)
spełniają te nierówności.

No tu poniekąd to miałem na myśli, mówiąc "określone jak w dowodzie" ^^ (że istnieją takie [...])
Ale widzę, że literówka się wkradła, w tym co pisałem: \(\displaystyle{ \sup a}\) zamiast \(\displaystyle{ \sup A_{a,b}}\).

Nie do końca. Dowodzą, że jeżeli \(\displaystyle{ q \in \mathbb{Q}}\) spełnia \(\displaystyle{ q < a+b}\), to istnieją \(\displaystyle{ w_1,w_2}\) takie, że \(\displaystyle{ w_1+w_2\in A_{a,b}}\) oraz \(\displaystyle{ w_1+w_2>q}\) i wobec tego \(\displaystyle{ q}\) nie jest ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ A_{a,b}}\)
[...]
Gdyby było \(\displaystyle{ q=a+b}\), to dowód się sypie, bo nie istnieją \(\displaystyle{ w_1,w_2}\), które spełniają te nierówności.

Hm. Ja na to patrzyłem tak:
\(\displaystyle{ q < a+b \Rightarrow q \neq \sup A_{a, b}}\) (cały dowód o tym mówi)
\(\displaystyle{ q = a+b \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ \sim \left( \exists_{w_1, w_2 \in \mathbb{Q}}. ( w_1 < a}\) i \(\displaystyle{ w_2 < b}\) i \(\displaystyle{ q < w_1+w_2 ) \right{)} \Leftrightarrow \forall_{w_1, w_2 \in \mathbb{Q}}. \left( w_1 < a}\) i \(\displaystyle{ w_2 < b \Rightarrow w_1+w_2 \leq q \right{)} \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow \forall_{W \in A_{a, b}}. W \leq q}\) (A)
Czyli jest \(\displaystyle{ q=a+b}\) ograniczeniem tego zbioru, a dodatkowo dla dowolnego \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\)
mamy \(\displaystyle{ q-\varepsilon < a+b}\) i wtedy
\(\displaystyle{ \forall_{W \in A_{a, b}}. q-\varepsilon < W}\) (B)
Z (A) i (B) \(\displaystyle{ q=a+b=\sup A_{a,b}}\).

Więc nie dokońca czuję, że dowód się "sypie" :-/
Wydawało mi się, że tezą jest to, że dla wymiernych liczb \(\displaystyle{ a, b}\); \(\displaystyle{ \sup A_{a, b}}\) rzeczywiście jest ich sumą (no i wtedy oczywiście liczbą wymierną, stąd założenie \(\displaystyle{ q \in \mathbb{Q}}\).
Natomiast dla niewymiernych \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) to \(\displaystyle{ a+b= \sup A_{a, b}}\) jest po prostu definicją, którą przyjmujemy i nie ma czego dowodzić.
(poza jednoznacznością, ale zbiór może mieć tylko jeden kres górny. I istnieniem kresu dla dow. liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a, b}\), ale zbiór jest ograniczony przez \(\displaystyle{ a+b}\) i niepusty).
Ale właściwie autorzy nie sformułowali "tezy" tylko podali tę definicje i zaczęli "coś" dowodzić xD jakby z przebiegu dowodu wynikała teza - niestety najwyraźniej nie dla mnie : P

[matmatmm]

Postaram się objaśnić, to jak ja to rozumiem. Jesteśmy na etapie definiowania dodawania liczb rzeczywistych, przy czym domyślam się, że:
1. Mamy zdefiniowane liczby wymierne wraz z działaniami oraz porządkiem.
2. Mamy zdefiniowane liczby rzeczywiste.
3. W zbiorze liczb rzeczywistych mamy wyróżnione liczby wymierne.

W tym miejscu dobrze będzie rozróżnić między liczbami wymiernymi, a liczbami rzeczywistymi, które są wymierne. Te pierwsze oznaczę przez \(\displaystyle{ \QQ}\), a te drugie przez \(\displaystyle{ \QQ'}\). Zbiory te wiąże pewna funkcja. Oznaczę ją przez \(\displaystyle{ \phi}\) (jest to bijekcja).

4. Mamy zdefiniowany porządek \(\displaystyle{ <}\) na liczbach rzeczywistych, a także udowodnione podstawowe jego własności, w tym twierdzenie Dedekinda oraz własność \(\displaystyle{ x=\sup\{q\in\QQ':q<x\}}\)

Wreszcie przechodzimy do zdefiniowania dodawania liczb rzeczywistych za pomocą wzoru \(\displaystyle{ a+_{\RR}b:=\sup\{\phi(\omega+_{\QQ}\nu): \phi(\omega)<a,\phi(\nu)<b, \omega\in\QQ,\nu\in\QQ\}}\)

Cały dowód, który próbujesz zrozumieć na celu pokazanie, że \(\displaystyle{ \phi(a+_{\QQ}b)=\phi(a)+_{\RR}\phi(b)}\) dla \(\displaystyle{ a,b\in\QQ}\)

I jest to dowód przez pokazanie dwóch nierówności.

Hm. Ja na to patrzyłem tak:
\(\displaystyle{ q < a+b \Rightarrow q \neq \sup A_{a, b}}\) (cały dowód o tym mówi)
\(\displaystyle{ q = a+b \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ \sim \left( \exists_{w_1, w_2 \in \mathbb{Q}}. ( w_1 < a}\) i \(\displaystyle{ w_2 < b}\) i \(\displaystyle{ q < w_1+w_2 ) \right{)} \Leftrightarrow \forall_{w_1, w_2 \in \mathbb{Q}}. \left( w_1 < a}\) i \(\displaystyle{ w_2 < b \Rightarrow w_1+w_2 \leq q \right{)} \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow \forall_{W \in A_{a, b}}. W \leq q}\) (A)
Czyli jest \(\displaystyle{ q=a+b}\) ograniczeniem tego zbioru, a dodatkowo dla dowolnego \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\)
mamy \(\displaystyle{ q-\varepsilon < a+b}\) i wtedy
\(\displaystyle{ \forall_{W \in A_{a, b}}. q-\varepsilon < W}\) (B)
Z (A) i (B) \(\displaystyle{ q=a+b=\sup A_{a,b}}\).

Szczerze to ciężko mi doszukać się jakiejś logiki w tym co piszesz. Próbujesz przekształcać tezę równoważnie? W dowodzie z pierwszego posta było

Ustalmy liczbę wymierną \(\displaystyle{ q < a+b}\). Wtedy istnieją takie liczby wymierne \(\displaystyle{ w_1, w_2}\), że:
\(\displaystyle{ a - \frac{a+b-q}{2}<w_1 < a}\) i \(\displaystyle{ b - \frac{a+b-q}{2}<w_2<b}\).

Gdyby \(\displaystyle{ q=a+b}\), to takie liczby \(\displaystyle{ w_1,w_2}\) nie istnieją. Dowód się sypie.

Wydawało mi się, że tezą jest to, że dla wymiernych liczb \(\displaystyle{ a, b}\); \(\displaystyle{ \sup A_{a, b}}\) rzeczywiście jest ich sumą (no i wtedy oczywiście liczbą wymierną, stąd założenie \(\displaystyle{ q \in \mathbb{Q}}\).
Natomiast dla niewymiernych \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) to \(\displaystyle{ a+b= \sup A_{a, b}}\) jest po prostu definicją, którą przyjmujemy i nie ma czego dowodzić.

To jest definicja, która jest dla wszystkich liczb rzeczywistych, w tym rzeczywistych, które są wymierne. Ważne jest tu to rozróżnienie między liczbami wymiernymi i rzeczywistymi, które są wymierne. Mamy oczywiście naturalne powiązanie (funkcję \(\displaystyle{ \phi}\)) między tymi zbiorami. I na zbiorze liczb wymiernych mamy zdefiniowane inne dodawanie, a tezą jest, że dodawania w pewnym sensie się pokrywają.

[Zaratustra]

Szczerze to ciężko mi doszukać się jakiejś logiki w tym co piszesz. Próbujesz przekształcać tezę równoważnie?

Nie, nie, nie próbuję tu niczego przekształcać, jedynie parafrazuję swój poprzedni post starając się (nieudolnie) wyjaśnić co wydaje mi się (w domyśle: pewnie błędnie) powiedzmy *jest prawdzą* w obliczu tego dowodu i założeń :-/

Gdyby \(\displaystyle{ q=a+b}\), to takie liczby \(\displaystyle{ w_1,w_2}\) nie istnieją. Dowód się sypie.

Ale z tym się zgadzam, że nie istnieją. Podstawienie \(\displaystyle{ q=a+b}\) "wewnątrz" dowodu bez sensu.
Ja chciałem wyrazić tymi "przekształceniami" z kwantyfikatorami, że:
Gdyby \(\displaystyle{ q=a +_{\QQ} b}\), to nie istnieją takie liczby i *stąd*
\(\displaystyle{ q=a +_{\QQ} b=\sup A_{a, b}=a +_{\RR} b}\)
(i chyba to "stąd" jest błędem w moim dotychczasowym rozumowaniu )

[...] Cały dowód, który próbujesz zrozumieć na celu pokazanie, że \(\displaystyle{ \phi(a+_{\QQ}b)=\phi(a)+_{\RR}\phi(b)}\) dla \(\displaystyle{ a,b\in\QQ}\)
[...] tezą jest, że dodawania w pewnym sensie się pokrywają.

Tak, to właśnie starałem się zawrzeć w mojej wypowiedzi, niezgrabnie i nieczytelnie :<
Ale tak właśnie rozumiem sytuację.

W każdym razie:
dzięki za uwagi i wsparcie ;]