Jeżeli zbiór A zawiera się w zbiorze B, to suma zbiorów A,B

[Rozbitek]

Mamy dwa niepuste zbiory: \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), takie że: \(\displaystyle{ A \subset B}\).

Jeżeli \(\displaystyle{ A \cup B \Rightarrow B}\)

No i trzeba to udowodnić. Oto moje wypociny:

\(\displaystyle{ A \subset B \Leftrightarrow [(a \in A) \Rightarrow (a \in B)]}\) (Definicja inkluzji)

Z definicji sumy zbiorów wiemy, że: \(\displaystyle{ x \in (A \cup B) \Leftrightarrow x \in A \vee x \in B}\), więc jeżeli \(\displaystyle{ A \subset B}\) to z definicji inkluzji wynika, że: \(\displaystyle{ x \in A \vee x \in B \Rightarrow x \in B \vee x \in B \Leftrightarrow x \in B \cup B \Leftrightarrow x \in B}\)
Co było do okazania.

Jest dobrze?

[Jan Kraszewski]

Jeżeli \(\displaystyle{ A \cup B \Rightarrow B}\)

To zdanie nie ma sensu, a zapis matematyczny jest niepoprawny. Nie wiadomo zatem, co masz zrobić.

\(\displaystyle{ A \subset B \Leftrightarrow [(a \in A) \Rightarrow (a \in B)]}\) (Definicja inkluzji)

To nie jest definicja inkluzji.

JK

[Rozbitek]

Jeżeli \(\displaystyle{ A \cup B \Rightarrow B}\)

To zdanie nie ma sensu, a zapis matematyczny jest niepoprawny. Nie wiadomo zatem, co masz zrobić.

Chodzi o to, że suma zbiorów A i B jest zbiorem B.

\(\displaystyle{ A \subset B \Leftrightarrow [(a \in A) \Rightarrow (a \in B)]}\) (Definicja inkluzji)

To nie jest definicja inkluzji.

No to mnie oszukali w podręczniku.

Pierwszy błąd chyba widzę:

\(\displaystyle{ A \cup B = B}\)

[karolex123]

Rozbitek, wedle Twojej "defincji" inkluzji zbiór \(\displaystyle{ A=\left\{ 1,2\right\}}\) byłby pozbiorem zbioru \(\displaystyle{ B=\left\{ 2\right\}}\), bowiem \(\displaystyle{ 2 \in A \Rightarrow 2 \in B}\). Zabrakło kwantyfikatora (jakiego?)

[Jan Kraszewski]

No to mnie oszukali w podręczniku.

Nie sądzę - raczej Ty zastosowałeś podręcznikową definicję bez zrozumienia.

JK

[Rozbitek]

Rozbitek, wedle Twojej "defincji" inkluzji zbiór \(\displaystyle{ A=\left\{ 1,2\right\}}\) byłby pozbiorem zbioru \(\displaystyle{ B=\left\{ 2\right\}}\), bowiem \(\displaystyle{ 2 \in A \Rightarrow 2 \in B}\). Zabrakło kwantyfikatora (jakiego?)

\(\displaystyle{ \forall a \in A}\) i teraz jest chyba OK?

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \forall a \in A}\) i teraz jest chyba OK?

Definicja tak. Wpadałoby teraz w dowodzie zaznaczyć ten kwantyfikator, zaczynając go od "ustalmy dowolne \(\displaystyle{ a\in A\cup B}\)". Potem jest w zasadzie dobrze, choć dużo lepiej wyglądałoby to, gdybyś zapisał to samo rozumowanie zdaniami w języku polskim:

"Skoro \(\displaystyle{ a\in A\cup B}\), to \(\displaystyle{ a\in A}\) lub \(\displaystyle{ a\in B}\). Jeśli teraz \(\displaystyle{ a\in A}\), to z założenia \(\displaystyle{ A \subseteq B}\) wnioskujemy, że \(\displaystyle{ a\in B}\), zatem w obu przypadkach \(\displaystyle{ a\in B}\), czyli (z def. zawierania) \(\displaystyle{ A\cup B \subseteq B}\)."

Jak widzisz, jeśli tezą było \(\displaystyle{ A\cup B\red=\black B}\), to musisz jeszcze zauważyć, że \(\displaystyle{ B \subseteq A\cup B}\) (prosta własność sumy zbiorów) oraz skorzystać z tego, że równość zbiorów jest tożsama z dwoma zawieraniami.

JK