Zbiór wszystkich zbiorów

[Jakub Gurak]

Wczorajszej nocy, kończąc naiwną teorię mnogości do mojego kompendium teorii mnogości, zacząłem pisać o paradoksie Russella, równoważny zbiorowi wszystkich zbiorów( patrz mój podpis). Zacząłem, wnikliwiej temu się zastanawiać. Dochodzę do wniosku, że temat (w naiwnej teorii mnogości) zbioru wszystkich zbiorów- to w ogóle niedobrze postawiony problem. To nie pokazuje, że naiwna teoria mnogości jest sprzeczna, to w ogóle źle postawiony problem.

Do rzeczy, w myśl naiwnie rozumianego pojęcia zbioru, każda kolekcja obiektów( elementów) jest zbiorem. Ale kolekcja elementów- wcześniej dobrze określonych. Więc, aby mówić o zbiorze wszystkich zbiorów, trzeba by najpierw określić każdy zbiór (z osobna). Bez tego nie ma żądanych obiektów i jesteśmy przed startem tworzenia zbioru. A z kolei, utworzenie każdego zbioru (z osobna) jest w naiwnej teorii mnogości, o tyle niemożliwe, że to zbyt otwarty problem (każda kolekcja elementów jest zbiorem). A więc nie jesteśmy w stanie zdefiniować wszystkich zbiorów( każdego z osobna), i jesteśmy przed startem mówienia czegokolwiek o zbiorze wszystkich zbiorów. Nie ma to sensu.

Co innego w Aksjomatycznej Teorii Mnogości:    

W ATM jest sens mówić o zbiorze wszystkich zbiorów. Wypowiedź: "\(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem"- jest tu już ścisła, jest to dowolny obiekt rozważanego uniwersum. I zbiór wszystkich zbiorów, to taki zbiór, do którego należy każdy zbiór ( obiekt uniwersum)- takiego zbioru nie ma, bo musiałby być elementem swoim - ale to już co innego, definicja wydaje się być poprawna

Podobnie, paradoks Russella, to też niedobrze postawiony problem, i naiwna teoria mnogości niekoniecznie jest sprzeczna.

Ukryta treść:    

Co nie znaczy, że zostawię ATM- tu pojęcie zbioru jest ścisłe, i szkoda mi jej zostawiać.