Matematyka.pl

Udowodnić, że dla dowolnej rodziny zbiorów \(\displaystyle{ \left\{A _{n} \ | \ n \in \NN \right\}}\)
Zachodzi równość \(\displaystyle{ \bigcup_{n \in \NN} A _{n} = \bigcup_{n \in \NN} B _{n}}\)

Gdzie, \(\displaystyle{ B _{n} = A _{n} - \bigcup_{i<n} A _{i}}\) dla \(\displaystyle{ n \in \NN}\)

Mógłby ktoś pomóc w zrobieniu tego zadania?

\(\displaystyle{ B_1=A_1}\), \(\displaystyle{ B_2=A_1\setminus A_2}\), \(\displaystyle{ B_3=A_3\setminus(A_1\cup A_2)}\) itd. Może to pomoże w zrozumieniu.

Ach rozumiem już o co chodzi, ale dalej nie wiem jak to ładnie rozpisać...

Pokaż dwa zawierania.

JK

Można to zrobić indukcyjnie?

Krok pierwszy oczywisty, krok indukcyjny:

Zakładamy, że: \(\displaystyle{ \bigcup_{n \in \NN} A _{n} = \bigcup_{n \in \NN} B _{n}}\)
Zatem, \(\displaystyle{ \bigcup_{n+1 \in \NN} B _{n} = (A _{n+1} - \bigcup_{n \in \NN} A _{n} ) \cup \bigcup_{n \in \NN} B _{n}=(A _{n+1} - \bigcup_{n \in \NN} A _{n} ) \cup \bigcup_{n \in \NN} A _{n}=\bigcup_{n+1 \in \NN} A _{n}}\)

Zatem \(\displaystyle{ \bigcup_{n \in \NN} A _{n} = \bigcup_{n \in \NN} B _{n}}\) jest prawdziwe.
Czy tak jest poprawnie?

W sumie można. Tak, jest poprawnie.

Inna wersja dowodu:

Ponieważ \(\displaystyle{ B_n \subseteq A_n}\), więc \(\displaystyle{ \bigcup_{n \in \NN} B _{n} \subseteq \bigcup_{n \in \NN} A_{n}}\).

Z drugiej strony, ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x\in\bigcup_{n \in \NN} A _{n}}\). Wtedy \(\displaystyle{ x\in A_{n_0}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ n_0\in\NN}\). Niech \(\displaystyle{ m=\min\{k:x\in A_k\}}\) (istnieje jako minimum zbioru niepustego). Wtedy \(\displaystyle{ x\in A_m}\), ale z minimalności \(\displaystyle{ x\notin A_i}\) dla \(\displaystyle{ i<m}\). Wobec tego \(\displaystyle{ x\notin \bigcup_{i<m} A _{i}}\), czyli \(\displaystyle{ x\in A _{m} \setminus \bigcup_{i<m} A _{i}=B_m}\), zatem \(\displaystyle{ x\in \bigcup_{n \in \NN} B _{n}}\), co należało dowieść.

JK

wiktor363 pisze:Zakładamy, że: \(\displaystyle{ \bigcup_{n \in \NN} A _{n} = \bigcup_{n \in \NN} B _{n}}\)
Zatem, \(\displaystyle{ \bigcup_{n+1 \in \NN} B _{n} = (A _{n+1} - \bigcup_{n \in \NN} A _{n} ) \cup \bigcup_{n \in \NN} B _{n}=(A _{n+1} - \bigcup_{n \in \NN} A _{n} ) \cup \bigcup_{n \in \NN} A _{n}=\bigcup_{n+1 \in \NN} A _{n}}\)

Idea poprawna, ale zapis nie. Powinno być:

Zakładamy, że \(\displaystyle{ \bigcup_{k \le n} A_k = \bigcup_{k \le n} B_k.}\) Wtedy

\(\displaystyle{ {\bigcup_{k \le n+1} B_k = \left( A_{n+1} - \bigcup_{k \le n} A_k \right) \cup \bigcup_{k \le n} B_k = \left( A_{n+1} - \bigcup_{k \le n} A_k \right) \cup \bigcup_{k \le n} A_k = \bigcup_{k \le n+1} A_k.}}\)

Ponadto powyższy dowód oznacza tylko, że dla każdego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) zachodzi \(\displaystyle{ \bigcup_{k \le n} A_k = \bigcup_{k \le n} B_k.}\) Do tezy, która mówi, że \(\displaystyle{ \bigcup_{k \in \mathbb{N}} A_k = \bigcup_{k \in \mathbb{N}} B_k,}\) został jeszcze jeden krok:

\(\displaystyle{ \bigcup_{k \in \mathbb{N}} A_k = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \bigcup_{k \le n} A_k = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \bigcup_{k \le n} B_k = \bigcup_{k \in \mathbb{N}} B_k.}\)

Dasio11 pisze:Idea poprawna, ale zapis nie.

Dzięki za czujność - znów widziałem tam to, co chciałem zobaczyć, a nie to, co tam było...

JK