podzbiór zbioru przeliczalnego jest przeliczalny

[dlama135]

Mam pokazać, że dowolny podzbiór zbioru przeliczalnego jest przeliczalny. Przeliczalny, czyli mam na myśli skończony lub równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych.

Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie przeliczalny oraz \(\displaystyle{ B \subset A}\). Skoro \(\displaystyle{ A}\) jest przeliczalny to istnieje funkcja \(\displaystyle{ f:\NN \to A}\) która jest na. Jeżeli \(\displaystyle{ B= \emptyset}\) to skończony czyli przeliczalny.
W przeciwnym wypadku ustalmy \(\displaystyle{ b \in B}\) i zdefiniujmy funkcję \(\displaystyle{ g:\NN\to B}\) daną wzorem
\(\displaystyle{ g(n)=\left\{ \begin{array}{ll}
f(n) & \mbox{gdy }f(n) \in B\\
b & \mbox{gdy } f(n) \notin B\\
\end{array} \right.}\)
I teraz moje pytanie. Jak mam pokazać że funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest na?

[Dualny91]

To wynika wprost z tego, że \(\displaystyle{ f}\) jest "na".

[dlama135]

Czyli formalnie dowód jest dobrze przeprowadzony, czy należałoby coś jeszcze wyjaśniać?

[Dualny91]

No napisałaś jak zdefiniować tę funkcję. Jest to dobra definicja. Ale Twoim obowiązkiem powinno być też napisać to krótkie rozumowanie, pokazujące, że \(\displaystyle{ g}\) jest "na". Ja zacznę, a Ty dokończ.
Niech \(\displaystyle{ y \in B.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest "na"...

[dlama135]

\(\displaystyle{ \forall_{ y \in B} \ \exists_{n \in \NN} \ g(n)=y}\)
Tak?

[kruszewski]

Na wesoło.
Jak zbiór jest przeliczalny, to obojętnie jaki jego "kawałek" wyjmiemy na bok, to będzie przeliczlny i ten wyjmany i ta reszta co pozostała. Bo wyjmanie części z czegoś o którym wiemy że ma policzone sztuki nie spowoduje , że reszcie co pozostala przybywa sztuk w ilości niewiadomej? To nie magazyn w trakcie remanentu. To nauka. No nie?

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \forall_{ y \in B} \ \exists_{n \in \NN} \ g(n)=y}\)
Tak?

Nie.

Po pierwsze, to nie jest rozumowanie, tylko definicja faktu, że funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest "na".
Po drugie, rozumowanie powinno być zapisane zdaniami w języku polskim, a nie samymi znaczkami. Dualny91 pokazał Ci, jak zacząć.

JK

[dlama135]

Gdybym wiedziała jak skończyć to raczej ten post nie powstałby. Dzięki za pomoc!

[Jan Kraszewski]

Gdybym wiedziała jak skończyć to raczej ten post nie powstałby.

Ale do wiedzy dochodzi się próbując, a nie czekając, aż inni napiszą. Za pierwszym razem nie wyszło, trzeba próbować dalej.

Masz początek:

Niech \(\displaystyle{ y \in B.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest "na"...

Dalej masz sformułować argument, dlaczego funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest "na". Wiesz też, na czym ten argument ma polegać:

To wynika wprost z tego, że \(\displaystyle{ f}\) jest "na".

Musisz napisać dwa-trzy zdania, korzystając z definicji funkcji "na", a nie cytując ją. Spróbuj, to nie jest trudne.

JK

[dlama135]

Poradziłam sobie, dziękuję.

[SzamanSzaman]

Borykam się z analogicznym problemem. Czy rozumowanie można przeprowadzić w następujący sposób?
Ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest suriekcją, więc dla dowolnego \(\displaystyle{ y\in B}\) istnieje \(\displaystyle{ n\in \NN}\) takie, że \(\displaystyle{ f(n)=y}\). Skoro\(\displaystyle{ f(n)=g(n)}\), dla \(\displaystyle{ n\in \NN}\) takich, że \(\displaystyle{ f(n)\in B}\), zatem \(\displaystyle{ g(n)=y}\). Z dowolności \(\displaystyle{ y}\) wynika, że funkcja \(\displaystyle{ g:\NN\to B}\) jest suriekcją.

[Jan Kraszewski]

Można.

JK