Równoliczność zbiorów

[Krodinor]

Tak, oczywiście.

Mam problem z jeszcze jednym zadaniem:
\(\displaystyle{ f: \NN^{2} \to \NN, f(x,y) = |x^{2}-y^{2}|.}\) Przyjmujemy w zadaniu, że \(\displaystyle{ 0}\) jest liczbą naturalną.

a) Czy funkcja jest "na"
b) Czy jest różnowartościowa
c) Znaleźć przeciwobraz zbioru \(\displaystyle{ A = 0}\)
d) Znaleźć obraz zbioru \(\displaystyle{ B = \NN \times\left\{ 0\right\}}\)

Chodzi mi głównie o podpunkty c) i d)

[pawlo392]

Definicja przeciwobrazu:
\(\displaystyle{ f^{-1}(A):=\left\{ (x,y) \in \mathbb{N}^2: f(x,y) \in A\right\}}\)

[Krodinor]

Czyli trzeba wzór funkcji przyrówna do A, w tym przypadku do 0?

[pawlo392]

Tak. Formalnie nie można zapisać, iż zbiór \(\displaystyle{ A=0}\). Chodziło zapewne o \(\displaystyle{ A=\left\{ 0\right\}}\)

[Krodinor]

Tak, przepraszam za wszelkie błędy, dopiero uczę się pisać w LaTeXu.
Czyli wychodzi \(\displaystyle{ 0 = |x^{2}-y^{2}|}\) , czyli \(\displaystyle{ x=y}\)
Co należy zrobić dalej?

[Jan Kraszewski]

Czyli wychodzi \(\displaystyle{ 0 = |x^{2}-y^{2}|}\) , czyli \(\displaystyle{ x=y}\)
Co należy zrobić dalej?

Lepiej będzie, jak napiszesz całą definicję przeciwobrazu, a nie sam warunek.

JK

[Krodinor]

\(\displaystyle{ f^{-1}(0) =\left\{ (x,y) \in \NN^{2}: |x^{2}-y^{2}| \in \left\{ 0\right\}\right\}}\)

Tak?
Nie za bardzo rozumiem jak to zadanie zrobić z powodu \(\displaystyle{ f(x,y)}\), do tej pory robiłem tylko takie z \(\displaystyle{ f(x).}\)
Czy ktoś mógłby mi to rozpisać i wytłumaczyć?

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ f^{-1}(0) =\left\{ (x,y) \in \NN^{2}: |x^{2}-y^{2}| \in \left\{ 0\right\}\right\}}\)

Tak?

Nie \(\displaystyle{ f^{-1}(0)}\), tylko \(\displaystyle{ f^{-1}(\{0\})}\). Poza tym dobrze.

Nie za bardzo rozumiem jak to zadanie zrobić z powodu \(\displaystyle{ f(x,y)}\), do tej pory robiłem tylko takie z \(\displaystyle{ f(x).}\)

A co to za różnica? Masz napisaną definicję, to ją odczytaj. Tylko powoli, krok po kroku. Zobaczysz, co wyjdzie.

JK

[Krodinor]

Rozumiem to tak, że przeciwobrazem tego zbioru jest zbiór składający się z takich x i y, które spełniają równanie \(\displaystyle{ 0 = |x^{2}-y^{2}|}\) tylko jak to dalej zapisać?

[Jan Kraszewski]

Przekształcając ten warunek. Poprzednio przekształciłeś go dobrze (co wynika stąd, że są to liczby naturalne), ale moja rada dotycząca pełnego zapisu związana była z tym, że dostaniesz wtedy od razu poprawny zapis wyniku.

JK

[Krodinor]

Dziękuję.
W takim razie proszę jeszcze o pomoc z podpunktem d), niestety nie wiem co oznacza \(\displaystyle{ \times}\), czy ktoś mógłby mi wyjaśnić jak go odczytywać?

[Jan Kraszewski]

nie wiem co oznacza \(\displaystyle{ \times}\), czy ktoś mógłby mi wyjaśnić jak go odczytywać?

To jest iloczyn kartezjański zbiorów.

\(\displaystyle{ \NN\times\{0\}=\{(x,y)\in\NN^2:y=0\}=\{(n,0):n\in\NN\}}\).

JK

[Krodinor]

A więc w tym zadaniu będzie to wyglądało tak:

\(\displaystyle{ f\left( \left\{ n,0\right\} \right) =|n^{2}-0|={n^{2}}}\)

?

[Jan Kraszewski]

Ta sama uwaga, co poprzednio - zapisz cały zbiór. Poza tym, nie \(\displaystyle{ f\left( \left\{ n,0\right\} \right)}\), tylko \(\displaystyle{ f\left( n,0 \right)}\), co jest skrótem od \(\displaystyle{ f\left( \left( n,0\right) \right)}\).

JK