W tym zadaniu nie ma co dowodzić... Możemy bowiem zdefiniować:Udowodnij, że dla każdego dobrego porządku \(\displaystyle{ \displaystyle (X,\leq)}\) istnieje funkcja, która niepustym podzbiorom \(\displaystyle{ \displaystyle X}\) przypisuje ich element najmniejszy. Funkcje tę nazywamy \(\displaystyle{ \displaystyle \min: \mathcal{P}(X) \setminus \left\{\emptyset\right\} \rightarrow X}\)
\(\displaystyle{ \displaystyle \min (A)=a}\) - element najmniejszy w \(\displaystyle{ \displaystyle A}\) względem dobrego uporządkowania \(\displaystyle{ \displaystyle \leq}\).
Wiemy bowiem, że zawsze w danym podzbiorze zbioru uporządkowanego istnieje co najwyżej jeden element najmniejszy. \(\displaystyle{ \displaystyle (X,\leq)}\) jest dobrym porządkiem, więc w każdym niepustym podzbiorze \(\displaystyle{ \displaystyle X}\) istnieje element najmniejszy. I tyle.
A na ważniaku, robią to tak:
Niewątpliwie. Ale po co tak rozpisywać Nie ma co, w końcu to \(\displaystyle{ 12}\) ostatni wykład... Ja bym poprzestał na tym:Zdefiniujemy zbiór \(\displaystyle{ \displaystyle \min}\) następująco:
\(\displaystyle{ \displaystyle \min = \{z\in \mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathcal{P}(X)\cup X)): \exists_{A\in \mathcal{P}(X)}\exists_{a\in X} [ z=(A,a) \wedge \forall_{b\in A} a\leq b ] \}.}\)
Istnienie zbioru \(\displaystyle{ \displaystyle \min}\) wynika z aksjomatu wyróżniania.
\(\displaystyle{ \min=\left\{ \left( A,a\right)\in \Bigl( P\left( X\right) \setminus \left\{ \emptyset \right\} \Bigr) \times X \biggl| \quad a \hbox{ jest elementem najmniejszym w } A \hbox{ względem } \le \right\}}\)
Ale jak chcą rozpisywać to, ... proszę bardzo, tylko niech poprawnie zrobią to zadanie. To im się do końca nie udało...
Aby to pokazać, może upewnijmy się najpierw że rzeczywiście jest to wybieranie spośród iloczynu kartezjańskiego \(\displaystyle{ \mathcal{P}(X) \times X}\).
Ukryta treść:
\(\displaystyle{ \{z\in \mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathcal{P}(X)\cup X)): \exists_{A\in \mathcal{P}(X)}\exists_{a\in X} \quad z=(A,a)\}}\) oznacza nic innego jak iloczyn kartezjański \(\displaystyle{ \mathcal{P}(X) \times X}\)
wobec czego \(\displaystyle{ \displaystyle \min}\) jest relacją \(\displaystyle{ \displaystyle \min \subset \mathcal{P}(X) \times X}\). Nie jest to jednak funkcja. Czas na kontrprzykład:
Rozważmy \(\displaystyle{ \left( \NN, \le\right)}\) gdzie \(\displaystyle{ \le}\) oznacza standardowy porządek na liczbach naturalnych. Jest to klasyczny dobry porządek. Przykładając do definicji zbioru \(\displaystyle{ \displaystyle \min}\):
Jest \(\displaystyle{ \left\{ 3,4,5\right\}\in \mathcal{P}(\NN)}\), jest \(\displaystyle{ 2\in \NN}\), że \(\displaystyle{ 2<3,4,5}\). Oznacza to że \(\displaystyle{ \left( \left\{ 3,4,5\right\},2\right) \in \displaystyle \min}\)
Jest \(\displaystyle{ \left\{ 3,4,5\right\}\in \mathcal{P}(\NN)}\), jest \(\displaystyle{ 1\in \NN}\), że \(\displaystyle{ 1<3,4,5}\). Oznacza to że \(\displaystyle{ \left( \left\{ 3,4,5\right\},1\right) \in \displaystyle \min}\) Wobec czego \(\displaystyle{ \displaystyle \min}\) nie jest funkcją.
Wiadomo, zapomnieli warunku \(\displaystyle{ a\in A}\)...
Ale to nie wszystko. Jest jeszcze problem z pustym podzbiorem...
Zbiorowi pustemu \(\displaystyle{ \left\{ \right\}}\) nie chcemy nic przyporządkowywać( bo w zbiorze pustym \(\displaystyle{ \left\{ \right\}}\) nie ma elementu najmniejszego). Tymczasem ta definicja zbiorowi pustemu przyporządkowuje dowolny element. Weźmy tak samo zbiór liczb naturalnych ze zwykłym porządkiem. Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie dowolną liczbą naturalną. Przykładając do definicji zbioru \(\displaystyle{ \displaystyle \min}\):
Jest \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \in \mathcal{P}(\NN)}\), jest \(\displaystyle{ n\in \NN}\), że \(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{b\in \left\{ \right\}} n \le b}\). To oczywiście prawda, wobec czego \(\displaystyle{ \Bigl( \left\{ \right\},n\Bigr) \in \displaystyle \min}\),
Co wobec dowolności wyboru \(\displaystyle{ n}\) oznacza że \(\displaystyle{ \displaystyle \min}\) przypisuję zbiorowi pustemu dowolną liczbę naturalną, a więc bardzo niedobrze.
Widać więc że pomimo tego rozpisywania, autorzy ważniaka nie zadbali o wszystko co potrzebne...
Ja natomiast nie jestem nazbyt formalny. Dbam jednak o precyzję zawsze gdy zauważę że jest ona niezbędna. I właśnie o to chodzi w matematyce. A nie tyle o to by formalizować.
