Liczby porządkowe - niezrozumienie pewnych pojęć

[matinf]

Cześć,
czy możecie mi wyjaśnić, dlaczego
\(\displaystyle{ \omega + n \neq \omega}\), ale już \(\displaystyle{ n+\omega=\omega}\).
Wydaje się nie mieć to sensu, po prostu nie rozumiem tego.

[a4karo]

Pomyśl tak:
\(\displaystyle{ \omega+4\approx 1\ 2\ 3\ \dots \ 1\ 2\ 3\ 4}\)
\(\displaystyle{ 4+\omega\approx 1\ 2\ 3\ 4\ 1\ 2\ 3\ \dots\approx \omega \neq \omega+4}\)

W pierwszym przypadku są dwa elementy bez poprzednika, a w drugim tylko jeden.

[matinf]

Nic mi to nie mówi. W dalszym ciagu nie rozumiem tego.
Rozważasz tutaj coś w stylu sumy prostej ? Ale taka suma jest przemienna.

[a4karo]

To nie suma prosta tylko porządek, a \(\displaystyle{ +}\) oznacza po prostu sklejanie porządków

\(\displaystyle{ \omega+4}\) ma element ostatni a \(\displaystyle{ 4+\omega}\) nie ma

[Jan Kraszewski]

Cześć,
czy możecie mi wyjaśnić, dlaczego
\(\displaystyle{ \omega + n \neq \omega}\), ale już \(\displaystyle{ n+\omega=\omega}\).
Wydaje się nie mieć to sensu, po prostu nie rozumiem tego.

Jak definiujesz dodawanie liczb porządkowych?

JK

[matinf]

Niech \(\displaystyle{ \alpha,\beta}\) będą odpowiednio liczbami porządkowymi zbiorów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\). Wówczas \(\displaystyle{ \alpha+\beta}\) oznacza liczbę porządkową \(\displaystyle{ A\oplus B}\) uporządkowanego tak:
\(\displaystyle{ \langle x\rangle _i \le \langle y\rangle _j \Leftrightarrow i < j\vee (i=j\wedge x\le y)}\).

To chyba oznacza to co a4karo sugerował. Po prostu bierzemy cały porządek i ustawiamy w rządku. Za nim doklejamy drugi porządek (drugi to ten z prawej strony znaku +) i patrzymy co wyszło.-- 13 wrz 2016, o 09:37 --Np, czy takie dwa porządki (zwykła relacja \(\displaystyle{ \le}\)).
Czy są tego samego typu ? Powinny być, bo to jest dokładnie ten sam zbiór:

\(\displaystyle{ \{1-1/n:n\in\NN\}\cup \{2\}}\)

\(\displaystyle{ \{2\}\cup\{1-1/n:n\in\NN\}}\)

No jaki typ ma ten zbiór? \(\displaystyle{ \omega + 1}\) czy \(\displaystyle{ 1+\omega}\) ?
Wiem, że typ porządku to liczba jego elementów. Tutaj tych elementów jest tyle ile liczb naturalnych, dokłdaniej to \(\displaystyle{ \aleph_0 + 1 = \aleph_0}\). Zatem typ porzadkowy to powinien być \(\displaystyle{ \omega}\) a w odpowiedziach jest, że \(\displaystyle{ \omega+1}\)

[Jan Kraszewski]

To chyba oznacza to co a4karo sugerował. Po prostu bierzemy cały porządek i ustawiamy w rządku. Za nim doklejamy drugi porządek (drugi to ten z prawej strony znaku +) i patrzymy co wyszło.

Tak.

Czy są tego samego typu ? Powinny być, bo to jest dokładnie ten sam zbiór:

\(\displaystyle{ \{1-1/n:n\in\NN\}\cup \{2\}}\)

\(\displaystyle{ \{2\}\cup\{1-1/n:n\in\NN\}}\)

Suma mnogościowa jest przemienna... Chyba nie do końca rozumiesz podaną na początku definicję.

No jaki typ ma ten zbiór? \(\displaystyle{ \omega + 1}\) czy \(\displaystyle{ 1+\omega}\) ?

Ten zbiór ma typ \(\displaystyle{ \omega+1}\).

Wiem, że typ porządku to liczba jego elementów.

Nieprawda! Typ porządkowy to "długość" dobrego porządku, ale w sensie porządkowym, a nie mocowym. Porządek przez Ciebie napisany jest "dłuższy" od porządku na \(\displaystyle{ \NN}\), bo ma jeszcze jeden element "na końcu".

Tutaj tych elementów jest tyle ile liczb naturalnych, dokłdaniej to \(\displaystyle{ \aleph_0 + 1 = \aleph_0}\). Zatem typ porzadkowy to powinien być \(\displaystyle{ \omega}\) a w odpowiedziach jest, że \(\displaystyle{ \omega+1}\)

Nie myl mocy z porządkami! Gdy mówisz o liczbach porządkowych, to myślisz o zbiorach dobrze uporządkowanych, a nie o ich mocach.

JK

[matinf]

Rozumiem o co chodzi chyba.

Sumuję dwa zbiory. Chcę zobaczyć jakiego jest typu wynikowy. Więc wysypuję z obu elementy i je po prostu sortuję.
(oczywiście sortowanie w cudzysłowie, bo mamy nieskończoność..).

Zatem wygląda to tak:

\(\displaystyle{ *****....*}\)
Gdzie pierwsze gwiazdki reprezentują \(\displaystyle{ \omega}\) zaś ostatnia gwiazdka pojedynczy element - w tym wypadku to jedynka. Stoi na końcu, bo jest największa - reszta liczb to ułamki.

[a4karo]

Nie sumujesz zbiorów. Zapomnij o zbiorach - interesuje Cię tylko porządek. I nic nie sortujesz: porzadki masz już dane. Nic więcej.Jakie ułamki???

Pomyśl jaki typ ma taki porządek:
\(\displaystyle{ 3<5<7<9<11<\dots <2\cdot 3<2\cdot 5<2\cdot 7<\dots<4\cdot 3<4\cdot 5<4\cdot 7<\dots<8\cdot 3<8\cdot 5<8\cdot 7<\dots}\)

[matinf]

\(\displaystyle{ \{1-1/n:n\in\NN\}\cup \{2\}}\). Spróbuj mi wytlumaczyć, dlaczego to ma typ \(\displaystyle{ \omega+1}\).
Na razie nie jestem gotów, żeby odpowiedzieć na Twoje pytanie.

[Jan Kraszewski]

To może zacznijmy od tego: co to dla Ciebie jest "typ \(\displaystyle{ \omega+1}\)" ?

JK

[Dasio11]

\(\displaystyle{ 3<5<7<9<11<\dots <2\cdot 3<2\cdot 5<2\cdot 7<\dots<4\cdot 3<4\cdot 5<4\cdot 7<\dots<8\cdot 3<8\cdot 5<8\cdot 7<\dots}\)

Zgaduję, że zapomniałeś napisać, gdzie w tym porządku są liczby \(\displaystyle{ 1, 2, 4, 8, \ldots}\)

[a4karo]

Nie zapomniałem... Ale to nie miejsce na Szarkowskiego (a jego porządek nie jest dobry)

[matinf]

To może zacznijmy od tego: co to dla Ciebie jest "typ \(\displaystyle{ \omega+1}\)" ?

To jest dobre pytanie. Tak jak mówiłeś, to długość dobrego porządku.
Najłatwiej jest o tym myśleć na zasadzie kontrastu z \(\displaystyle{ 1+\omega}\)

Mając \(\displaystyle{ ***********....*}\) mamy reprezentację graficzną porządku \(\displaystyle{ \{1-1/n:n\in\NN\}\cup \{2\}}\).

Nie rozumiem tylko dlaczego, Ta dwojka ma być tą gwiazdką na końcu. A może na początku ? Albo na trzecim miejscu ? Wówczas reprezentacja graficzna doprowadzi nas do typu \(\displaystyle{ \omega}\).

Czy to chodzi o to, że \(\displaystyle{ 2}\) jest nie miniejsze niż każda liczba z \(\displaystyle{ \{1-1/n:n\in\NN\}}\) ? No, ale z drugiej strony ten porządek nie jest przecież liniowy.

Chyba czas spróbować zrozumieć definicję, a nie opierać się na grafice:
\(\displaystyle{ \langle x\rangle _i \le \langle y\rangle _j \Leftrightarrow i < j\vee (i=j\wedge x\le y)}\)
Ale co tu oznaczają indeksy \(\displaystyle{ i, j}\) ? Ja rozumiem, że chcemy jakoś rozróżniać te same elementy (wszak definiujemy używając \(\displaystyle{ \oplus}\)).
Jakbyś mógł wypowiedzieć po polsku tą definicję byłoby łatwiej

[Jan Kraszewski]

Nie rozumiem tylko dlaczego, Ta dwojka ma być tą gwiazdką na końcu. A może na początku ? Albo na trzecim miejscu ?

Bo to przecież nie jest sam zbiór, a zbiór z porządkiem, który w tym przypadku jest porządkiem odziedziczonym z prostej (który po obcięciu do tego zbioru okazuje się być dobrym porządkiem) - liczba \(\displaystyle{ 2}\) jest większa od każdej liczby \(\displaystyle{ 1-\frac{1}{n},}\) więc...

Gdybyś ten zbiór inaczej uporządkował, to oczywiście mógłbyś dostać zbiór dobrze uporządkowany innego typu.

Czy to chodzi o to, że \(\displaystyle{ 2}\) jest nie miniejsze niż każda liczba z \(\displaystyle{ \{1-1/n:n\in\NN\}}\) ? No, ale z drugiej strony ten porządek nie jest przecież liniowy.

Że co?! A niby dlaczego nie jest liniowy?

Chyba czas spróbować zrozumieć definicję, a nie opierać się na grafice:

Rysunki są dobre, nie należy bać się ich. To nie w rysunkach jest Twój problem

\(\displaystyle{ \langle x\rangle _i \le \langle y\rangle _j \Leftrightarrow i < j\vee (i=j\wedge x\le y)}\)
Ale co tu oznaczają indeksy \(\displaystyle{ i, j}\)?

Wolałby tę definicję zapisać tak: jeśli masz zbiory dobrze uporządkowane \(\displaystyle{ \left\langle X,\le_X\right\rangle , \left\langle Y,\le_Y\right\rangle}\) o typach \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\), to typ \(\displaystyle{ \alpha+\beta}\) ma zbiór \(\displaystyle{ \left( X\times\{0\}\right)\cup \left( Y\times\{1\}\right)}\) uporządkowany porządkiem \(\displaystyle{ \preceq}\) zdefiniowanym następująco:

\(\displaystyle{ \langle x,i\rangle \preceq \langle y,j\rangle \Leftrightarrow i < j\vee (i=j=0\wedge x\le_X y)\vee (i=j=1\wedge x\le_Y y).}\)

Czyli po prostu ustawiamy najpierw uporządkowany zbiór \(\displaystyle{ X}\), a za nim uporządkowany zbiór \(\displaystyle{ Y}\).

Jakbyś mógł wypowiedzieć po polsku tą definicję byłoby łatwiej

To zrobił a4karo.

JK