Moc zbiorów

[Sokół]

czy zbiór liczb naturalnych jest równoliczny ze zbiorem liczb całkowitych?
W odwrotną stronę można zrobić coś takiego:
zbiór liczb całkowitych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, bo może istnieć funkcja przekształcająca C na N - np. f(n)=|n|. I tak się zrobi z każdą ujemną liczbą całkowitą, tzn. weźmie z niej wartość bezwzględną. Ale np. z całkowitych liczb nieujemnych nie trzeba brać wartości bezwzględnej, więc mamy jakby dwa takie same elementy f(2)=|2| i f(-2)=|-2|, tzn. w obu przypadkach będzie 2.

I jeszcze w odwrotną stronę, nie wiem jak przekształcić zbiór liczb naturalnych na zbiór liczb całkowitych. Np. dwójkę z liczb N trzeba by przekształcać dwa razy, raz mnożyć przez 1 a raz przez minus jeden (żeby każdy element miał jakby swój odpowiednik)

[max]

(Zbiór liczb całkowitych oznacza się zazwyczaj jako \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) i tego oznaczenia będę używał. \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) oznacza zwykle zbiór liczb zespolonych)

W odwrotną stronę można zrobić coś takiego:
zbiór liczb całkowitych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, bo może istnieć funkcja przekształcająca C na N

To dowodzi jedynie, że moc zbioru liczb naturalnych jest nie większa od mocy zbioru liczb całkowitych.
Aby wykazać równoliczność dwóch zbiorów z definicji musisz znaleźć bijekcję (czyli funkcję jednocześnie 'na' i różnowartościową) z jednego zbioru w drugi.

Na przykład ciąg \(\displaystyle{ (a_{n})_{n\in\mathbb{N}}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{2n} = n\\
a_{2n + 1} = -n\end{cases}}\)
jest bijekcją z \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\)
(zakładam, że \(\displaystyle{ 0\in\mathbb{N}}\)).