Układ równań - wyznaczenie wzoru
: 1 wrz 2007, o 18:00
Szanowni Państwo
Miałbym prośbę, czy mógł by mi ktoś sprawdzić czy dobrze zrobiłem te zadanie:
Niech \(\displaystyle{ \varphi :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\) będzie określona wzorem:
\(\displaystyle{ \varphi (x) = \left\{\begin{array}{cc}2x^{2} - 3,\qquad x\leq -1 \\ -2x-3,\qquad x>-1 \end{array}\right.}\)
a)Napisz wzór na \(\displaystyle{ \varphi^{-1}}\)
b)Napisz wzór na \(\displaystyle{ \varphi \circ \varphi}\)
Oto moje rozwiązanie:
a)
\(\displaystyle{ g(x) = 2x^{2}-3}\)
\(\displaystyle{ h(x) = 2x -3}\)
\(\displaystyle{ \varphi (x) = \left\{\begin{array}{cc} g(x) ,\qquad x\leq -1 \\ h(x),\qquad x>-1 \end{array}\right.}\)
Obliczam: \(\displaystyle{ g^{-1}}\)
\(\displaystyle{ y=2x^{2} -3}\)
\(\displaystyle{ -2x^{2}=-3-y}\)
\(\displaystyle{ x^{2} = {3 \over 2}+ {1 \over 2}y}\)
\(\displaystyle{ x = \sqrt[]{{3 \over 2}+ {1 \over 2}y}}\)
Obliczam:\(\displaystyle{ h^{-1}}\)
\(\displaystyle{ y=-2x-3}\)
\(\displaystyle{ 2x=-3-y}\)
\(\displaystyle{ x=-{3 \over 2}- {1 \over 2}y}\)
\(\displaystyle{ \varphi^{-1} = \left\{\begin{array}{cc} \sqrt{\frac32+ \frac12y} ,\qquad x\geq -1 \\ -\frac32- \frac12y,\qquad x<-1\end{array}\right.}\)
b)
\(\displaystyle{ \varphi \circ \varphi (x) = \varphi (\varphi (x))}\)
\(\displaystyle{ 1^{\circ}\quad dla \quad x\le-1\\
\varphi \circ \varphi (x) = \varphi (\varphi (x)) = \varphi (2x^{2} -3) = -2(2x^{2} -3)-3=-4x^{2}+3}\)
\(\displaystyle{ 2^{\circ}\quad dla \quad x =-1\\
\varphi (\varphi (-1))=-1}\)
\(\displaystyle{ 3^{\circ}\quad dla \quad x >-1\\
\varphi \circ \varphi (x) = \varphi (\varphi (x)) = \varphi (-2x -3) = 2(4x^{2} -12x+9)-3=8x^{2}-12x +15}\)
\(\displaystyle{ \varphi^{-1} = \left\{\begin{array}{ccc} -4x^{2}+3 ,\qquad x< -1 \\-1 ,\qquad x= -1 \\ 8x^{2} -12x + 15,\qquad x>-1 \end{array}\right.}\)
Z góry dziękuje za pomoc
Miałbym prośbę, czy mógł by mi ktoś sprawdzić czy dobrze zrobiłem te zadanie:
Niech \(\displaystyle{ \varphi :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\) będzie określona wzorem:
\(\displaystyle{ \varphi (x) = \left\{\begin{array}{cc}2x^{2} - 3,\qquad x\leq -1 \\ -2x-3,\qquad x>-1 \end{array}\right.}\)
a)Napisz wzór na \(\displaystyle{ \varphi^{-1}}\)
b)Napisz wzór na \(\displaystyle{ \varphi \circ \varphi}\)
Oto moje rozwiązanie:
a)
\(\displaystyle{ g(x) = 2x^{2}-3}\)
\(\displaystyle{ h(x) = 2x -3}\)
\(\displaystyle{ \varphi (x) = \left\{\begin{array}{cc} g(x) ,\qquad x\leq -1 \\ h(x),\qquad x>-1 \end{array}\right.}\)
Obliczam: \(\displaystyle{ g^{-1}}\)
\(\displaystyle{ y=2x^{2} -3}\)
\(\displaystyle{ -2x^{2}=-3-y}\)
\(\displaystyle{ x^{2} = {3 \over 2}+ {1 \over 2}y}\)
\(\displaystyle{ x = \sqrt[]{{3 \over 2}+ {1 \over 2}y}}\)
Obliczam:\(\displaystyle{ h^{-1}}\)
\(\displaystyle{ y=-2x-3}\)
\(\displaystyle{ 2x=-3-y}\)
\(\displaystyle{ x=-{3 \over 2}- {1 \over 2}y}\)
\(\displaystyle{ \varphi^{-1} = \left\{\begin{array}{cc} \sqrt{\frac32+ \frac12y} ,\qquad x\geq -1 \\ -\frac32- \frac12y,\qquad x<-1\end{array}\right.}\)
b)
\(\displaystyle{ \varphi \circ \varphi (x) = \varphi (\varphi (x))}\)
\(\displaystyle{ 1^{\circ}\quad dla \quad x\le-1\\
\varphi \circ \varphi (x) = \varphi (\varphi (x)) = \varphi (2x^{2} -3) = -2(2x^{2} -3)-3=-4x^{2}+3}\)
\(\displaystyle{ 2^{\circ}\quad dla \quad x =-1\\
\varphi (\varphi (-1))=-1}\)
\(\displaystyle{ 3^{\circ}\quad dla \quad x >-1\\
\varphi \circ \varphi (x) = \varphi (\varphi (x)) = \varphi (-2x -3) = 2(4x^{2} -12x+9)-3=8x^{2}-12x +15}\)
\(\displaystyle{ \varphi^{-1} = \left\{\begin{array}{ccc} -4x^{2}+3 ,\qquad x< -1 \\-1 ,\qquad x= -1 \\ 8x^{2} -12x + 15,\qquad x>-1 \end{array}\right.}\)
Z góry dziękuje za pomoc