Zbadać jakie relacje inkluzji zachodzą między zbiorami

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34124
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Zbadać jakie relacje inkluzji zachodzą między zbiorami

Post autor: Jan Kraszewski »

SzostekKarol pisze: 21 sty 2020, o 14:47Jestem pewien, że nawet po moim wpisie nie czaisz o co w tym chodzi Panie Jan Kraszewski.
Gratuluję pewności siebie oraz dogłębnej znajomości mojej wiedzy.

Zawsze jednak istnieje możliwość, że nieczytelnie formułujesz swoje myśli.

JK
SzostekKarol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 20 sty 2020, o 23:33
Płeć: Mężczyzna
wiek: 45

Re: Zbadać jakie relacje inkluzji zachodzą między zbiorami

Post autor: SzostekKarol »

W takim razie wyjaśnię jak z definicji wyznaczyć rozpatrywaną w tabeli prawdy formułę zdaniową.

\(\displaystyle{
* \Leftrightarrow [(A \setminus B) \cup (B \cap C)=(C \setminus B) \cup (A \cap C )]
}\)


Z definicji zbiorów za pomocą funkcji zdaniowej mamy:
\(\displaystyle{
A \setminus B= \left\{ x:x \in A \wedge x \notin B \right\} =D=\left\{ x:x \in D \right\}, \; (x \in A \wedge x \notin B )\Leftrightarrow x \in D \\
B \cap C= \left\{ x:x \in B \wedge x \in C \right\} =E=\left\{ x:x \in E \right\} \\
C \setminus B= \left\{ x:x \in C \wedge x \notin B \right\} =F=\left\{ x:x \in F \right\} \\
A \cap C= \left\{ x:x \in A \wedge x \in C \right\} =G=\left\{ x:x \in G \right\} \\
D \cup E= \left\{ x:x \in D \vee x \in E \right\} =H=\left\{ x:x \in H \right\} \\
F \cup G= \left\{ x:x \in F \vee x \in G \right\} =I=\left\{ x:x \in I \right\} \\
}\)


Definicja równości i inkluzji za pomocą kwantyfikatora:
\(\displaystyle{
H=I \Leftrightarrow \forall _{x \in U} [x \in H \Leftrightarrow x \in I] \\
X\subseteq Y \Leftrightarrow \forall _{x \in U} [x \in X \Rightarrow x \in Y] \leftarrow
}\)


Po podstawieniach mamy:
\(\displaystyle{
* \Leftrightarrow \forall _{x\in U}\left \{ [(x\in A \wedge x \notin B) \vee ( x \in B \wedge x \in C)] \Leftrightarrow [(x \in C \wedge x \notin B) \vee ( x \in A \wedge x \in C)] \right \}
}\)


Po podstawieniu do funkcji zdaniowej z pod kwantyfikatora za x elementu \(\displaystyle{ x_{i} }\) ze zbioru \(\displaystyle{ U}\) dostajemy formułę zdaniową, wprowadzamy oznaczenia.
\(\displaystyle{
x_{i} \in A \rightarrow a \\
x_{i}\in B \rightarrow b\\
x_{i}\notin B \Leftrightarrow x_{i}\in \sim B \rightarrow \sim b\\
x_{i}\in C \rightarrow c \\
}\)


Po podstawieniu oznaczeń otrzymamy rozpatrywaną w tabeli prawdy formułę.
\(\displaystyle{
[(a \wedge \sim b)\wedge (b \wedge c)] \Leftrightarrow [ (c \wedge \sim b) \vee (a \wedge c)]
}\)


Po wyznaczeniu z tabeli prawdy pożądanych implikacji, równoważnych temu zdaniu, bądź wynikającyzh z niego, szukane inkluzje można znaleźć stosując definicje inkluzji \(\displaystyle{ \leftarrow }\).
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34124
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Zbadać jakie relacje inkluzji zachodzą między zbiorami

Post autor: Jan Kraszewski »

Najwyraźniej w życiu nie słyszałeś o brzytwie Ockhama - używasz mnóstwa niepotrzebnych literek (tylko powyżej: \(\displaystyle{ D,E,F,G,H,I}\) itd.), które do niczego nie służą. Co więcej, Twoja metoda znajdowania zależności pomiędzy zbiorami przy pomocy "tabeli prawdy" jest bardzo nieefektywna - to samo otrzymam robiąc najpierw rysunek (żeby je zobaczyć), a potem wykonując proste i krótkie rozumowania (żeby je uzasadnić). Nie widzę zatem żadnej korzyści z wykorzystania Twojej metody.

JK
SzostekKarol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 20 sty 2020, o 23:33
Płeć: Mężczyzna
wiek: 45

Re: Zbadać jakie relacje inkluzji zachodzą między zbiorami

Post autor: SzostekKarol »

Dla mnie mają one sens, zresztą jak by nie miały to by nie było o nich mowy, a one nawet w Wikipedię są.

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Truth_table

Proponuje tam w Wikipedii dopisać swoje zdanie, że one te tabelki są nieefektywne, i że one przecież nie mają sensu, bo powinno się to robić inaczej rysunkiem załatwić sprawę :)
I dodać, że powinno się do nich zastosować Brzytwa Ockhama bo mają w sobie za dużo znaków i powtarzają się F oraz T.

Ja tam nie widzę takiego wpisu, więc może warto dodać ?

Proponuje powrócić myślami w przeszłość i znaleźć w pamięci choć jedno popranie rozwiązane zadania tego typu bez odwoływania do tabelki i jeśli takie było to jak było trywialne.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34124
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Zbadać jakie relacje inkluzji zachodzą między zbiorami

Post autor: Jan Kraszewski »

Oj, musisz potrenować czytanie ze zrozumieniem.
SzostekKarol pisze: 21 sty 2020, o 23:29Dla mnie mają one sens, zresztą jak by nie miały to by nie było o nich mowy, a one nawet w Wikipedię są.
Nikt nie twierdził, że tabele prawdy nie mają sensu. One nie mają sensu przy rozwiązywaniu tego typu zadań, jak w tym wątku.
SzostekKarol pisze: 21 sty 2020, o 23:29i że one przecież nie mają sensu, bo powinno się to robić inaczej rysunkiem załatwić sprawę :)
Nikt nie twierdził, że rysunkiem w tego typu zadaniach jak w tym temacie "załatwia się sprawę". Rysunek jest tylko wygodną pomocą do zrobienia krótkiego i wygodnego dowodu formalnego.
SzostekKarol pisze: 21 sty 2020, o 23:29I dodać, że powinno się do nich zastosować Brzytwa Ockhama bo mają w sobie za dużo znaków i powtarzają się F oraz T.
Moja uwaga o brzytwie Ockhama nie odnosiła się do znaków w tabelach prawdy, które są takie, jakie są, tylko do Twojej prezentacji
SzostekKarol pisze: 21 sty 2020, o 17:52Z definicji zbiorów za pomocą funkcji zdaniowej mamy:
\(\displaystyle{
A \setminus B= \left\{ x:x \in A \wedge x \notin B \right\} =D=\left\{ x:x \in D \right\}, \; (x \in A \wedge x \notin B )\Leftrightarrow x \in D \\
B \cap C= \left\{ x:x \in B \wedge x \in C \right\} =E=\left\{ x:x \in E \right\} \\
C \setminus B= \left\{ x:x \in C \wedge x \notin B \right\} =F=\left\{ x:x \in F \right\} \\
A \cap C= \left\{ x:x \in A \wedge x \in C \right\} =G=\left\{ x:x \in G \right\} \\
D \cup E= \left\{ x:x \in D \vee x \in E \right\} =H=\left\{ x:x \in H \right\} \\
F \cup G= \left\{ x:x \in F \vee x \in G \right\} =I=\left\{ x:x \in I \right\} }\)
w której użyłeś mnóstwa niepotrzebnych literek.
SzostekKarol pisze: 21 sty 2020, o 17:52Proponuje powrócić myślami w przeszłość i znaleźć w pamięci choć jedno popranie rozwiązane zadania tego typu bez odwoływania do tabelki i jeśli takie było to jak było trywialne.
Współczuję Ci, jeśli wracasz myślami w przeszłość i znajdujesz tam tylko rozwiązania oparte o tabelki. Obecnie uczy się tych treści zupełnie inaczej (zresztą jak ja cofam się myślą w przeszłość, to jest tam dużo nietrywialnych zadań i jakoś mało tabelek), używając tabelek wyłącznie tam, gdzie jest to potrzebne, czyli na początku przy omawianiu rachunku zdań, a i to oszczędnie (nie wiem jak Ty, ale ja uczę tego materiału studentów studiów matematycznych, więc wiem to dość dobrze).

JK
Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3841
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 702 razy

Re: Zbadać jakie relacje inkluzji zachodzą między zbiorami

Post autor: AiDi »

SzostekKarol pisze: 21 sty 2020, o 23:29 a one nawet w Wikipedię są
Uwaga ogólna: Wikipedia nie jest wyrocznią! Jest wiele artykułów, które są źle napisane i zawiera wiele nieścisłości, których poprawki (dokonane przez pracowników naukowych - specjalistów w dziedzinie) są cofane. Poza tym zestawiasz Wikipedię z wykładowcą Uniwersytetu Wrocławskiego, który wykłada te tematy studentom matematyki od \(\displaystyle{ n}\) lat...
SzostekKarol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 20 sty 2020, o 23:33
Płeć: Mężczyzna
wiek: 45

Re: Zbadać jakie relacje inkluzji zachodzą między zbiorami

Post autor: SzostekKarol »

Czyli odpowiedz nauczyciela akademickiego do tego zadania to, nie ma inkluzji ?

I chodzi zawsze o sześć inkluzji \(\displaystyle{ A \subseteq B, \subseteq , A \subseteq C, B \subseteq C, B \subseteq A, C \subseteq A, C \subseteq B}\).
Bo jak jest taka \(\displaystyle{ A \cap B \subseteq C}\), albo \(\displaystyle{ B \subseteq C}\)' to nie jest miedzy zbiorami \(\displaystyle{ A, B, C}\).

Według mnie mżona podać nieskończenie wiele inkluzji między zbiorami w tym zadaniu, z czego dwie minimalne, ale problem jest choćby z jedną.
To tak jak by mówić, że \(\displaystyle{ \sim a}\) nie dotyczy zdania \(\displaystyle{ a}\) i w rachunku zdań ograniczyć się do zdań bez negacji.

Ciekawe podejście?

Problem w tym, że samo zadanie jest nie ściśle sformułowane bo co niby znaczy jakie inkluzje zachodzą między zbiorami A, B, C ?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34124
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Zbadać jakie relacje inkluzji zachodzą między zbiorami

Post autor: Jan Kraszewski »

SzostekKarol pisze: 22 sty 2020, o 18:43Czyli odpowiedz nauczyciela akademickiego do tego zadania to, nie ma inkluzji ?
Tak.
SzostekKarol pisze: 22 sty 2020, o 18:43Bo jak jest taka \(\displaystyle{ A \cap B \subseteq C}\), albo \(\displaystyle{ B \subseteq C'}\) to nie jest miedzy zbiorami \(\displaystyle{ A, B, C}\).
Tak uważam. To są inkluzje pomiędzy innymi zbiorami.

Czy jest inkluzja pomiędzy przedziałami \(\displaystyle{ [0,1]}\) i \(\displaystyle{ [2,3]}\) ? Według Ciebie tak, bo \(\displaystyle{ [0,1] \subseteq [2,3]'}\). Ja nie uznaję takiej interpretacji. Twoja interpretacja bierze się spoza rachunku zbiorów i wg mnie dlatego nie jest to dobra interpretacja.

JK
SzostekKarol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 20 sty 2020, o 23:33
Płeć: Mężczyzna
wiek: 45

Re: Zbadać jakie relacje inkluzji zachodzą między zbiorami

Post autor: SzostekKarol »

W takim razie napisze jeszcze jakie według mnie zachodzą inkluzje z których wynika to zdanie:

Żeby znaleźć inkluzje z których wynika to zdanie trzeba odpowiednio rozszerzyć zera w tabelce prawdy. Rozszerzonym obszarom odpowiadają funkcje \(\displaystyle{ \sim b}\) oraz \(\displaystyle{ \sim c}\).
W tym przypadku funkcje te odpowiadają równościom \(\displaystyle{ B=\varnothing}\) oraz \(\displaystyle{ C=\varnothing }\).
To, że zbiory są puste mona zapisać w postaci inkluzji \(\displaystyle{ B \subseteq B' }\) oraz \(\displaystyle{ C \subseteq C' }\).

Dlatego są jeszcze dwie inkluzje dotyczące zbiorów \(\displaystyle{ A, B, C}\).
Oto magiczne rozwiązania:
\(\displaystyle{ B \subseteq B' }\)
\(\displaystyle{ C \subseteq C' }\)

Jest tak ponieważ
\(\displaystyle{ (B \subseteq B') \Rightarrow [(A \cup B) \setminus C=(A \setminus C) \cup B] }\)
\(\displaystyle{ (C \subseteq C') \Rightarrow [(A \cup B) \setminus C=(A \setminus C) \cup B] }\)

Co można przetłumaczyć, jeśli zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest pusty to spełnione jest równanie, albo jeśli zbiór \(\displaystyle{ C}\) jest pusty to również spełnione jest rozpatrywane równanie bo zbiory \(\displaystyle{ B, C}\) nie mają wtedy części wspólnej. Ale warunki te nie są konieczne do tego, żeby zbiory były rozłączne dlatego implikacje jest w tą stronę.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34124
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Zbadać jakie relacje inkluzji zachodzą między zbiorami

Post autor: Jan Kraszewski »

SzostekKarol pisze: 22 sty 2020, o 22:57Dlatego są jeszcze dwie inkluzje dotyczące zbiorów \(\displaystyle{ A, B, C}\).
Oto magiczne rozwiązania:
\(\displaystyle{ B \subseteq B' }\)
\(\displaystyle{ C \subseteq C' }\)

Jest tak ponieważ
\(\displaystyle{ (B \subseteq B') \Rightarrow [(A \cup B) \setminus C=(A \setminus C) \cup B] }\)
\(\displaystyle{ (C \subseteq C') \Rightarrow [(A \cup B) \setminus C=(A \setminus C) \cup B] }\)
W kontekście rozważanego zadania to jest niestety bzdura z tej prostej przyczyny, że niezależnie od tego jak rozumiemy sformułowanie "zbadać jakie relacje inkluzji zachodzą między zbiorami \(\displaystyle{ A,B,C}\)", to jest absolutnie jasne, że warunek \(\displaystyle{ \left( A \cup B\right) \setminus C=\left( A \setminus C\right) \cup B}\) jest założeniem, więc interesuje nas wyłącznie wynikanie

\(\displaystyle{ \left( A \cup B\right) \setminus C=\left( A \setminus C\right) \cup B \Rightarrow ...}\)

JK
krl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 609
Rejestracja: 10 lis 2009, o 22:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 135 razy

Re: Zbadać jakie relacje inkluzji zachodzą między zbiorami

Post autor: krl »

@SzostekKarol: Czy umiesz udowodnić, że z podanej równości zbiorów wynika dokładnie 729 inkluzji zbiorów (w sensie opisanym przeze mnie wyżej, przy naturalnych utożsamieniach)?
SzostekKarol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 20 sty 2020, o 23:33
Płeć: Mężczyzna
wiek: 45

Re: Zbadać jakie relacje inkluzji zachodzą między zbiorami

Post autor: SzostekKarol »

Na razie ten dowód zostawmy na później bo znalazłem nowe rozwiązanie tego zadania.

\(\displaystyle{
\begin{tabular}{ |c|c|c||c|c|c|c|c|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c| }
\hline
& & & & d & e & f & g & * & & & & h & & X & & Y &\\
a & b & c & \sim c & a \vee b & d \wedge \sim c & a \wedge \sim c & f \vee b & f \Leftrightarrow g & b \Rightarrow \sim c & \sim b & c \Rightarrow \sim b & b \wedge c & h \Leftrightarrow 0 & b \wedge c & \sim c & b \wedge \sim c & X \Rightarrow Y \\
\hline
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
\hline
\end{tabular}
}\)


Do tabeli dodałem cztery ostatnie kolumny. w ostatniej kolumnie mamy równoważną funkcje z tą oznaczoną *.
odpowiada to funkcji logicznej.

\(\displaystyle{
(b \wedge c) \Rightarrow (b \wedge \sim c)
}\)


Stąd mamy naszą szczęśliwą inkluzje między zbiorami \(\displaystyle{ A, B, C}\).
\(\displaystyle{
[(A \cup B) \setminus C=(A \setminus C) \cup B] \Rightarrow [(B \cap C)\subset [B \setminus C]]
}\)


Tutaj Pan Jan Kraszewski nie zaprzeczy, że inkluzja jest między zbiorami \(\displaystyle{ A, B, C}\), bo w równaniu nie widać dopełnień :).
Chyba, że chodzi tylko o te sześć o których wspomniał krl. Matematycy :) :) :) :).
Jeśli chodzi o mnie to jestem inżynierem.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Zbadać jakie relacje inkluzji zachodzą między zbiorami

Post autor: Dasio11 »

krl pisze: 21 sty 2020, o 09:57Przy tym naturalnym zastrzeżeniu łatwo policzyć, że podana równość zbiorów implikuje \(\displaystyle{ 729}\) inkluzji.
Pomyliłeś się o \(\displaystyle{ 10 \ 935}\) inkluzji.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34124
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Zbadać jakie relacje inkluzji zachodzą między zbiorami

Post autor: Jan Kraszewski »

SzostekKarol pisze: 23 sty 2020, o 01:19Stąd mamy naszą szczęśliwą inkluzje między zbiorami \(\displaystyle{ A, B, C}\).
\(\displaystyle{
[(A \cup B) \setminus C=(A \setminus C) \cup B] \Rightarrow [(B \cap C)\subset [B \setminus C]]
}\)


Tutaj Pan Jan Kraszewski nie zaprzeczy, że inkluzja jest między zbiorami \(\displaystyle{ A, B, C}\), bo w równaniu nie widać dopełnień :).
Chyba, że chodzi tylko o te sześć o których wspomniał krl. Matematycy :) :) :) :).
Tak, chodzi o te sześć.

Z czysto formalnego punktu widzenia można uznać, że inkluzja \(\displaystyle{ B \cap C\subset B \setminus C}\) jest inkluzją "między zbiorami \(\displaystyle{ A, B, C}\)", bo jest inkluzja i występują tylko wspomniane zbiory. Ale jest jeszcze kontekst matematyczny tego zadania - taka interpretacja sprawia, że zadanie praktycznie przestaje mieć sens, bo po pierwsze takich inkluzji jak Twoja mogę wyprodukować od ręki (bez tabelek) mnóstwo, a po drugie - ważniejsze - to zadanie nie uczy wtedy wyciągania wniosków na temat zależności pomiędzy zbiorami.

Dla osób spoza matematyki (to nie jest w żadnych wypadku przytyk) ten kontekst może nie być zauważalny.

JK
SzostekKarol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 20 sty 2020, o 23:33
Płeć: Mężczyzna
wiek: 45

Re: Zbadać jakie relacje inkluzji zachodzą między zbiorami

Post autor: SzostekKarol »

Panie Dario1 pisze pan "Nie wychodzą mi tego typu zadania", Nie ma się czym przejmować, większości "Matematykom" one nie wychodzą.
Jeśli chodzi o mnie to zajęło mi to bardzo długo zanim je zrozumiałem i mimo to z tej dyskusji wynikły kolejne rozwiązania.
Proszę posłuchać wykładu Roman Kluski o tym jak rozwiązywać problemy i jak on to robił.
Według Kluski dyskusja z osobami, które się nie znają na sprawie może być wielce owocna.

Np: Pan Jan Kraszewski np: pisze

Czy jest inkluzja pomiędzy przedziałami \(\displaystyle{ [0,1] i [2,3]′}\) ? Według Ciebie tak, bo \(\displaystyle{ ![0,1]⊆[2,3]′}\). Ja nie uznaję takiej interpretacji. Twoja interpretacja bierze się spoza rachunku zbiorów i wg mnie dlatego nie jest to dobra interpretacja.
JK

Pisze to podaje zdanie prawdziwe \(\displaystyle{ [0,1]⊆[2,3]′ <=>1}\) które jest tautologia. I prosto w oczy mówi, że to jest nieprawda, że nie ma inkluzji.

Zadania te mają jak najbardziej sens jak pisze w treści podaj jakie inkluzje zachodzą to podaj a nie wciskaj kit, że ich nie ma jak one są i to wiele.
Inkluzja w tym zadaniu wyraża po prostu rozłączność zbiorów, jest to zapisanie rozłączności zborów za pomocą inkluzji.

\(\displaystyle{ (B \cap C = \varnothing ) \Leftrightarrow ( (B \cap C ) \subset (B \setminus C))}\)

Najlepiej to nie przyznać racji, tylko kurczowo trzymać się swoich mylnych poglądów.

Pan Jan mimo tego, że wykłada się na najprostszym zadaniu z Teorii zbiorów to potrafił wyłapać błąd niemal, w każdym moim zdaniu, za tą recenzję mu dziękuję.
Zapewne sprawdzi się jako wspaniały krytyk literacki.
Ostatnio zmieniony 23 sty 2020, o 15:24 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
ODPOWIEDZ