relacja równoważności

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Velarian
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 11 gru 2015, o 11:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedlce
Podziękował: 14 razy

relacja równoważności

Post autor: Velarian »

Zbadać, czy relacja R jest relacją równoważności. Jeśli tak, wskazać jej klasy abstrakcji.
\(\displaystyle{ R \subseteq Z^{2} , xRy \Leftrightarrow 2|x - y}\)

mógłby mi ktoś krok po kroku wyjaśnić na czym to polega i jak mam określić zbiór na którym będę działał?
Ostatnio zmieniony 17 gru 2015, o 18:05 przez Velarian, łącznie zmieniany 1 raz.
szw1710

relacja równoważności

Post autor: szw1710 »

Ta relacja nie jest ani zwrotna, ani przechodnia. Zbuduj kontrprzykłady.
Velarian
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 11 gru 2015, o 11:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedlce
Podziękował: 14 razy

relacja równoważności

Post autor: Velarian »

szw1710 pisze:Ta relacja nie jest ani zwrotna, ani przechodnia. Zbuduj kontrprzykłady.
Dlaczego nie jest zwrotna? \(\displaystyle{ x-x=0}\)
A 0 ma nieskończenie wiele dzielników
szw1710

relacja równoważności

Post autor: szw1710 »

W pierwszej wersji posta podano relację \(\displaystyle{ x\,R\,y\iff 2|xy}\). W sytuacji otrzymania odpowiedzi nie jest przyzwoitym poprawianie posta. Należało podać poprawną definicję relacji na nowo, w kolejnym poście. Moje uwagi dotyczyły relacji, którą tu przywołałem. Wprowadziłeś zamieszanie mimowolną (nie celową) sugestią, że nie wiem czym jest relacja równoważności.

Tamta relacja oczywiście nie jest zwrotna ani przychodnia. Aby się nieco zrehabilitować, znajdź kontrprzykłady, o które prosiłem.

Poprawianie posta jest dopuszczalne, gdy nie pojawiła się jeszcze odpowiedź.

Relacja, jaka jest teraz, jest oczywiście relacją równoważności, co wynika z podstawowych własności podzielności.

Aby znaleźć i opisać klasy abstrakcji, spróbuj inaczej określić tę relację. Chodzi o pewien warunek równoważny: \(\displaystyle{ 2|x-y\iff\dots}\). Skorzystaj ponownie z definicji podzielności.
Velarian
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 11 gru 2015, o 11:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedlce
Podziękował: 14 razy

relacja równoważności

Post autor: Velarian »

Przepraszam za to zamieszanie ale człowiek najpierw działa potem myśli i tak zrobiłem ,że najpierw napisałem komentarz a potem zacząłem dochodzić dlaczego Pan tak napisał...
A więc rehabilituję się
Zwrotność
\(\displaystyle{ x\,R\,y\iff 2|xy \iff 2|x \cdot x}\) Czyli np. Dla \(\displaystyle{ x\ne 3}\) nie jest zwrotna
Przechodniość
\(\displaystyle{ x\,R\,y \wedge y\,R\,z \Rightarrow x\,R\,z}\)
Czyli np.
\(\displaystyle{ 2|3 \cdot 2 \wedge 2|2 \cdot 5 \Rightarrow 2|3 \cdot 5}\)
Mam nadzieje, że odpracowałem swój błąd

O to chodzi z klasą abstrakcji??
\(\displaystyle{ \left| \left| Z_{1} \right| \right|=2n\\
\left| \left| Z_{2} \right| \right|=2n+1}\)
Ostatnio zmieniony 17 gru 2015, o 20:47 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Różność to \ne.
szw1710

relacja równoważności

Post autor: szw1710 »

Tak, kontrprzykłady dobre.

Co do klas abstrakcji, to wiesz mniej więcej o co chodzi, ale zapis koszmarny i nie nadający się do niczego. Popraw go.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

relacja równoważności

Post autor: Jan Kraszewski »

Pamiętaj, że klasa abstrakcji jest podzbiorem zbioru, na którym jest określona relacja. W tym wypadku powinny to być podzbiory \(\displaystyle{ \ZZ.}\)

JK
ODPOWIEDZ