Relacje równoważności

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Lola_1993
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 21 paź 2015, o 19:15
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 12 razy

Relacje równoważności

Post autor: Lola_1993 »

Hej Mam do Was ogromną prośbę. Przerabiamy teraz na ekonomii matematycznej relacje równoważności i mniej więcej rozumiem o co tutaj chodzi, ale nadal niektóre kwestie sprawiają mi kłopot Podam teraz niektóre przykłady i pytania do nich..

a) \(\displaystyle{ p \subset C ^{2} \wedge xRy \Leftrightarrow |x|+|y|=3}\)

tutaj chodzi mi o symetryczność.. czy tutaj chodzi o to, że jak podłożę jakąkolwiek parę liczb to zawsze będzie ten sam wynik ? np. \(\displaystyle{ (x=1, y=2)}\) lub \(\displaystyle{ (x=3, y=4)}\) ? Czy ta \(\displaystyle{ 3}\) ma znaczenie w tej symetryczności ? bo podkładając pierwszą parę liczb to suma da mi \(\displaystyle{ 3}\) ale jak podłożę drugą parę to wynik będzie równy \(\displaystyle{ 7}\)..

b) \(\displaystyle{ p \subset C ^{2} \wedge xRy \Leftrightarrow |x|+|y|\neq3}\)

tutaj problem sprawia mi zwrotność.. w odpowiedziach mam, że relacja nie jest przechodnia, ale znowu.. np. \(\displaystyle{ (x=2, y=4, z=6)}\) się zgadza.. \(\displaystyle{ |2|+|4|\neq3 \Rightarrow |4|+|6|\neq3 \Leftrightarrow |2|+|6|\neq3}\) ale dla pary \(\displaystyle{ (x=1, y=2, z=3)}\) już nie.. \(\displaystyle{ |1|+|2|=3 \Rightarrow |2|+|3|\neq3 \Leftrightarrow |1|+|3|\neq3}\) a w odpowiedziach mam, że nie jest przechodnia..

Wiem, że dla Was mogą to być głupie i banalne sprawy, ale ja naprawdę nie rozumiem tego.. Potrzebuję kogoś kto wytłumaczy mi to jak typowemu burakowi.. Wiem, że korzysta się też tutaj ze zdań logicznych (?), ale niestety logiki nie miałam.. przeglądałam przykładowe zadania na Internecie, ale nie rozwiało to moich wątpliwości..

Za każdą wskazówkę będę ogromnie wdzięczna
Ostatnio zmieniony 26 paź 2015, o 22:53 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Dualny91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 414
Rejestracja: 11 paź 2015, o 15:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 98 razy

Relacje równoważności

Post autor: Dualny91 »

Zajmijmy się najpierw a).
Lola_1993 pisze: \(\displaystyle{ p \subset C ^{2} \wedge xRy \Leftrightarrow |x|+|y|=3}\)
Jak się ma \(\displaystyle{ p}\) do czegokolwiek? Prawdopodobnie chciałaś napisać \(\displaystyle{ R \subset \mathbb{Z}^2}\). Liczby całkowite oznacza się standardowo \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\), aczkolwiek mogę przeboleć to szkolne \(\displaystyle{ C}\).
Lola_1993 pisze: tutaj chodzi mi o zwrotność.. czy tutaj chodzi o to, że jak podłożę jakąkolwiek parę liczb to zawsze będzie ten sam wynik ? np. \(\displaystyle{ (x=1, y=2) lub (x=3, y=4)}\) ?
Nie, warunek zwrotności mówi w tym wypadku : \(\displaystyle{ \forall x \in \mathbb{Z} \ x R x}\). I teraz masz skorzystać z definicji relacji \(\displaystyle{ R}\).
Lola_1993 pisze: Czy ta 3 ma znaczenie w tej symetryczności ? bo podkładając pierwszą parę liczb to suma da mi 3 ale jak podłożę drugą parę to wynik będzie równy 7..
\(\displaystyle{ 3}\) ma niewielkie znaczenie, ale widać, że kompletnie nie rozumiesz o co chodzi. Zapisz tu warunek symetrii.
Lola_1993
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 21 paź 2015, o 19:15
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 12 razy

Relacje równoważności

Post autor: Lola_1993 »

Dualny91 pisze: Nie, warunek zwrotności mówi w tym wypadku : \(\displaystyle{ \forall x \in \mathbb{Z} \ x R x}\). I teraz masz skorzystać z definicji relacji \(\displaystyle{ R}\)
Chodziło mi o symetryczność, mój błąd Ze zwrotnością nie mam problemów
\(\displaystyle{ \forall x \in \mathbb{Z}\ xRy \Leftrightarrow yRx}\)
Dualny91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 414
Rejestracja: 11 paź 2015, o 15:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 98 razy

Relacje równoważności

Post autor: Dualny91 »

Lola_1993 pisze: \(\displaystyle{ \forall x \in \mathbb{Z}\ xRy \Leftrightarrow yRx}\)
Ok, to teraz przepisz to w języku relacji \(\displaystyle{ R}\).
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Relacje równoważności

Post autor: Jan Kraszewski »

Lola_1993 pisze:Chodziło mi o symetryczność, mój błąd Ze zwrotnością nie mam problemów
\(\displaystyle{ \forall x \in \mathbb{Z}\ xRy \Leftrightarrow yRx}\)
Wystarczy \(\displaystyle{ \forall x \in \mathbb{Z}\ xRy \red\Rightarrow\black yRx}\).

JK
Lola_1993
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 21 paź 2015, o 19:15
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 12 razy

Relacje równoważności

Post autor: Lola_1993 »

\(\displaystyle{ |x|+|y|=3 \Rightarrow |y|+|x|=3}\)
Dualny91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 414
Rejestracja: 11 paź 2015, o 15:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 98 razy

Relacje równoważności

Post autor: Dualny91 »

Owszem. Jak się mają do siebie lewe strony obu równości i jaki stąd wniosek?
Lola_1993
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 21 paź 2015, o 19:15
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 12 razy

Relacje równoważności

Post autor: Lola_1993 »

Są równe.. czyli relacja jest symetryczna, bo dodawanie jest przemienne ?
miodzio1988

Relacje równoważności

Post autor: miodzio1988 »

Zgadza się
Lola_1993
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 21 paź 2015, o 19:15
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 12 razy

Relacje równoważności

Post autor: Lola_1993 »

Dziękuję bardzo a mogłabym też prosić o jakieś wskazówki odnośnie tej drugiej relacji ?
miodzio1988

Relacje równoważności

Post autor: miodzio1988 »

b)

weź

\(\displaystyle{ x=1}\)

\(\displaystyle{ y=4}\)

\(\displaystyle{ z=2}\)
Lola_1993
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 21 paź 2015, o 19:15
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 12 razy

Relacje równoważności

Post autor: Lola_1993 »

\(\displaystyle{ |1|+|4| \neq |3| \wedge |4|+|2| \neq 3 \Rightarrow |1|+|2|=3}\)
no nie zgadza się.. czyli jak udowodnię, że są takie pary liczb, które to zaprzeczają tzn., że nie jest przechodnia ? czy jakoś inaczej się na to patrzy ?
miodzio1988

Relacje równoważności

Post autor: miodzio1988 »

czyli jak udowodnię, że są takie pary liczb, które to zaprzeczają tzn., że nie jest przechodnia ?
owszem
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Relacje równoważności

Post autor: Jan Kraszewski »

Bycie relacją przechodnią jest własnością ogólną: mówimy, że dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y,z\in \ZZ}\), dla których \(\displaystyle{ xRy}\) i \(\displaystyle{ yRz}\), zachodzi także \(\displaystyle{ xRz}\). Skoro więc chcemy pokazać, że to nieprawda, to musimy pokazać, że istnieją takie, że \(\displaystyle{ x,y,z\in \ZZ}\), dla których \(\displaystyle{ xRy}\) i \(\displaystyle{ yRz}\), ale nieprawda, że \(\displaystyle{ xRz}\). I takie \(\displaystyle{ x,y,z}\) właśnie wskazałaś.

JK
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Relacje równoważności

Post autor: a4karo »

Oj chyba nie to wskazała.
ODPOWIEDZ