Symetryczność relacji

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Lola_1993
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 21 paź 2015, o 19:15
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 12 razy

Symetryczność relacji

Post autor: Lola_1993 »

Cześć Mam do Was wielką prośbę Mógłby mi ktoś wytłumaczyć jak zbadać symetryczność relacji ? Znam definicje, ale jak siadam do zadania to nagle widzę ciemność Może podam przykład i napiszę z czym mam największy problem

\(\displaystyle{ x, y \in C, xRy \Leftrightarrow |x| + |y| \neq 3}\)

Wiem, że symetryczność polega na tym, że jeżeli \(\displaystyle{ xRy \Leftrightarrow yRx}\). Tylko teraz nie wiem jak to udowodnić.. Przejrzałam kilkanaście zadań na tym forum i wszędzie pisaliście, że ta własność ma się zgadzać dla dowolnej pary liczb z danego zbioru.. np. \(\displaystyle{ x = 2}\) i \(\displaystyle{ y = 4}\).. tutaj się zgadza, ale np. jak podstawię \(\displaystyle{ x = 1}\) i \(\displaystyle{ y = 2}\) to już się nie zgadza.. znalazłam kontrprzykład a w książce w odpowiedziach mam napisane, że ta relacja jest symetryczna i nie wiem dlaczego.. Będę bardzo wdzięczna jeżeli ktokolwiek mnie naprowadzi jak zabrać się za sprawdzanie symetryczności relacji (albo napisał co najpierw przejrzeć aby to jakoś lepiej zrozumieć)

Z góry dziękuję za jakąkolwiek pomoc
Ostatnio zmieniony 22 paź 2015, o 09:39 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Wszystkie wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].
Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Symetryczność relacji

Post autor: leg14 »

Nie znalazlas kontrprzykladu
Popatrz co mowi warunek na symetrycznosc:
\(\displaystyle{ xRy \Leftrightarrow yRx}\)
Czyli jest symetryczna jesli z faktu, ze \(\displaystyle{ xRy}\) wynika, ze \(\displaystyle{ yRx}\)
Lub na odwrot
W podanym przez Ciebie kontrprzykladzie
ani x nie jest w relacji z y, ani y nie jest w relacji z x [jednym slwoem mylisz warunek na symetrycznosc z warunkiem na bycie w relacji)
To , ze jest to relacja symetryczna musisz pokazac rozbijajac rownowaznosc na dwie przeciwne implikacje, tzn.:

\(\displaystyle{ (xRy Leftrightarrow yRx) Leftrightarrow left[(xRy Rightarrow yRx) wedge (xRy Leftarrow yRx)
ight]}\)
Lola_1993
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 21 paź 2015, o 19:15
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 12 razy

Symetryczność relacji

Post autor: Lola_1993 »

Jest szansa abyś pokazał mi to na moim przykładzie ? Wiem, że to może wydawać się śmieszne, ale nie czuję tego po prostu

PS. dzięki za powyższe wskazówki
Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Symetryczność relacji

Post autor: leg14 »

No to najpierw implikacja w jedna strone :
\(\displaystyle{ xRy \Rightarrow yRx}\)
Mamy, ze \(\displaystyle{ xRy}\) Zatem \(\displaystyle{ |x| +|y| \neq 3}\) ale dodawanie jest przemienne, wiec
takze \(\displaystyle{ |y| + |x| \neq 3}\) co jest rownowazne temu, ze \(\displaystyle{ yRx}\)
Czyli pokazalismy , ze jesli \(\displaystyle{ xRy}\) to \(\displaystyle{ yRx}\)
Jeszce trzeba pokazac to w druga strone, robi sie to dokladnie tak samo.
Lola_1993
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 21 paź 2015, o 19:15
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 12 razy

Symetryczność relacji

Post autor: Lola_1993 »

Możesz mi powiedzieć czy teraz dobrze myślę..
\(\displaystyle{ [(xRy) \Rightarrow (yRx)] \Leftrightarrow [(|x| + |y| \neq 3) \Rightarrow (|y| + |x| \neq 3)]}\)

np. \(\displaystyle{ x = 1}\) i \(\displaystyle{ y = 2}\) to będzie \(\displaystyle{ 1 + 2 = 3}\) i \(\displaystyle{ 2 + 1 = 3}\) implikacja jest prawdziwa gdy z fałszu wynika fałsz
np. \(\displaystyle{ x = 2}\) i \(\displaystyle{ y = 4}\) to będzie \(\displaystyle{ 2 + 4 \neq 3}\) i \(\displaystyle{ 4 + 2 \neq 3}\) i tutaj mamy dwie prawdy czyli prawda

implikacja jest fałszywa gdy z prawdy wynika fałsz.. a tutaj raczej nic takiego mi nie wyjdzie po podstawieniu dowolnej pary liczb.. dobrze kombinuję czy już totalnie sama wszystko pokręciłam ?
Ostatnio zmieniony 22 paź 2015, o 09:40 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach w całości. Do tego wszystkie, a nie tylko niektóre.
ms7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 290
Rejestracja: 3 paź 2014, o 15:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 179 razy
Pomógł: 5 razy

Symetryczność relacji

Post autor: ms7 »

Dobrze kombinujesz, ale wydaje mi się, że to zadanie jest dla Ciebie po prostu za łatwe i doszukujesz się w nim drugiego dna, którego nie ma

Sprawa jest prosta, tak jak sama napisałaś, musisz sprawdzić czy dla dowolnej pary liczb x,y prawdziwa jest równoważność:
\(\displaystyle{ |x| +|y| \neq 3 \Leftrightarrow |y| + |x| \neq 3}\)

Na pewno wiesz, że kolejność dodawania jest bez znaczenia, wiec \(\displaystyle{ |x| +|y| = |y| + |x|}\)

Zatem nasza równoważność to to samo co taka równoważność:

\(\displaystyle{ |x| +|y| \neq 3 \Leftrightarrow |x| + |y| \neq 3}\)

Tutaj już widzisz że obie strony równoważności są takie same, więc zawsze przyjmują tę samą wartość logiczną(obie są jednocześnie prawdą lub fałszem). Jak to się ma do prawdziwości równoważności?


PS. Sprawdzając prawdziwość implikacji obchodzi Cię tylko to, czy jeśli poprzednik jest prawdziwy to czy prawdziwy jest też następnik, innych przypadków nie musisz rozpatrywać, tzn. nie musisz sprawdzać co się dzieje gdy poprzednik jest fałszywy(bo wtedy od razu implikacja jest prawdziwą).
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Symetryczność relacji

Post autor: Jan Kraszewski »

leg14 pisze:Popatrz co mowi warunek na symetrycznosc:
\(\displaystyle{ xRy \Leftrightarrow yRx}\)
Warunek symetryczności to

\(\displaystyle{ (\forall x,y)(xRy \red \Rightarrow \black yRx)}\)

i nie ma powodu, by go komplikować.

JK
ODPOWIEDZ