Udowodnij dla dowolnych zbiorów

[Dario1]

Udowodnij dla dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ A,B,C}\) następujące równości:

\(\displaystyle{ |A \cup B|=|A|+|B|-|A \cap B| \\
|A \cup B \cup C|=|A|+|B|+|C|-|A \cap B|-|A \cap C|-|B \cap C|+|A \cap B \cap C|}\)

To niby wygląda na oczywiste, ale jak to udowodnić ?

[Althorion]

To nie jest prawdą dla dowolnych zbiorów, a tylko dla tych skończonych.

Dowodzić moim zdaniem najlepiej posiłkując się diagramem Venna, po narysowaniu którego zastanawiasz się, ile razy zliczone zostały elementy po lewej stronie równości i ile razy zostały zliczone po prawej.

[Jan Kraszewski]

A formalny dowód jest indukcyjny.

JK

[Dario1]

A można zobaczyć na przykładzie jak ten dowód wygląda? Nieformalny i formalny.

[jutrvy]

Można też rozumować tak. Bierzesz dowolny punkt lewej strony i sprawdzasz, że po prawej liczony jest dokładnie raz. Zawieranie z prawej w lewą jest oczywiste.

[Dario1]

Może przykład jakiś? Bo tak ogólnikowo to ciężko. Co to znaczy punkt?

[Jan Kraszewski]

Zawieranie z prawej w lewą jest oczywiste.

Zawieranie?!

Jak chcesz dać wskazówkę, to przyłóż się do jej sformułowania.

JK

[Dario1]

Może ktoś pokazać ten pierwszy przykład jak zrobić krok po kroku? Drugi spróbowałbym sam.

[a4karo]

Wsk: Element zbioru \(\displaystyle{ A\cup B\cup C}\) może należec do dokładnie jednego ze zbiorów, albo dokładnie do dwóch, albo do wszystkich trzech. W każdym z przypadków policz ile razy jest policzony po każdej stronie wzoru.

[jutrvy]

Pomyliłem się, przepraszam. Wykreśl zdanie o zawieraniu i będziesz miał dobrą wskazówkę, Dario1.

[Dario1]

Czyli co:

\(\displaystyle{ |A \cup B|=|A|+|B|-|A \cap B|}\). Tutaj jeśli x należy tylko do A to po lewej jest liczony raz, a po prawej też raz. Jeśli x należy do B to podobnie, a jeśli należy do A i B to po prawej jest liczony 1+1-1=1 raz. Tak to powinno wyglądać?

[matmatmm]

Czyli co:

\(\displaystyle{ |A \cup B|=|A|+|B|-|A \cap B|}\). Tutaj jeśli x należy tylko do A to po lewej jest liczony raz, a po prawej też raz. Jeśli x należy do B to podobnie, a jeśli należy do A i B to po prawej jest liczony 1+1-1=1 raz. Tak to powinno wyglądać?

To jest machanie rękami.

A formalny dowód jest indukcyjny.

[Jan Kraszewski]

To jest machanie rękami.

Czyli dowód nieformalny...

JK

[matmatmm]

Ale jak się teraz nad tym zastanawiam, to może indukcja nie jest potrzebna.

\(\displaystyle{ |A|=|A\setminus B| +|A\cap B|}\)
\(\displaystyle{ |B|=|B\setminus A| + |A\cap B|}\)

\(\displaystyle{ |A|+|B|=|A\setminus B|+|B\setminus A|+|A\cap B|+ |A\cap B|=|A\cup B|+|A\cap B|}\)

Tu korzystamy jedynie z definicji sumy liczb kardynalnych. Indukcja może być potrzebna jednak, jeśli byśmy chcieli uzasadnić, że dodając dwie skończone liczby kardynalne, otrzymamy liczbę kardynalną, która odpowiada liczbie kardynalnej dla "zwykłej" sumy liczb naturalnych. to znaczy jeśli przez \(\displaystyle{ \xi(n)}\) oznaczymy liczbę kardynalną odpowiadającą liczbie naturalnej \(\displaystyle{ n}\), to \(\displaystyle{ \xi(n)+\xi(m)=\xi(n+m)}\).

[Dario1]

Czyli co ten dowód nieformalny jest dobry czy zły?