Porządki częsciowe

[kajmak13]

Witam! Mam problem z następującym zadaniem:

a) Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem wszystkich funkcji \(\displaystyle{ f}\), ktorych dziedzina oraz zbiór wartości są zawarte w \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\). Zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest uporządkowany za pomoca inkluzji; dokładniej, częsciowy porządek \(\displaystyle{ \le _{X}}\) jest określony następująco:
\(\displaystyle{ f\le _{X}g \Leftrightarrow \left( D _{f} \subseteq D _{g} \wedge f=g|D _{f} \right)}\)
Znajdź moc zbioru wszystkich elementów maksymalnych w \(\displaystyle{ X}\).

b) Niech \(\displaystyle{ \mathcal{Y}=\mathcal{P}\left( \mathbb{N}\right) \setminus \left\{\mathbb{N} \right\}}\) będzie rodziną wszystkich właściwych podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\), uporządkowana za pomoca inkluzji. Dokładniej porządek częsciowy określony jest następująco:
\(\displaystyle{ A\le _{Y}B \Leftrightarrow A \subseteq B}\).
Znajdź moc zbioru wszystkich elementów maksymalnych w \(\displaystyle{ Y}\).

c) Rozstrzygnij, czy zbiory cześciowo uporzadkowane \(\displaystyle{ X, Y}\) są izomorficzne.

Bardzo prosze o pomoc.

Co do b) to wydaje mi się, że to bedą wszystkie podzbiory postaci \(\displaystyle{ \mathbb{N} \setminus \left\{ n\right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) - ich jest tyle ile możliwości wyboru \(\displaystyle{ n}\), czyli \(\displaystyle{ \aleph}\).

[brzoskwinka1]

a) moc zbioru elementów maksymalnych wynosi continum,
b) moc zbioru elementów maksymalnych wynosi alef zero,
c) nie mogą być izomorficzne bo mają różne moce.

[kajmak13]

Ok, jak uzasadnić a?

[Jan Kraszewski]

Oszacować i tw. Cantora-Bernsteina.

JK

[kajmak13]

Jak możnaby to oszacować? Pierwsza moja myśl to było, aby sprowadzić to jakoś do ciągów zero-jedynkowych, jakoś z nimi porównywać, ale ogólnie nie mam na to jakiejś konkretnej idei...

I jeszcze jedno: niby wiem, co to oznacza, ale nie bardzo widzę w tym zadaniu: \(\displaystyle{ f=g|D _{f}}\).

[Jan Kraszewski]

Jak można by to oszacować? Pierwsza moja myśl to było, aby sprowadzić to jakoś do ciągów zero-jedynkowych, jakoś z nimi porównywać, ale ogólnie nie mam na to jakiejś konkretnej idei...

Od góry - każda z tych funkcji jest podzbiorem \(\displaystyle{ \NN\times\NN}\).
Od dołu - czy funkcje, których dziedziną jest całe \(\displaystyle{ \NN}\) są elementami maksymalnymi?

I jeszcze jedno: niby wiem, co to oznacza, ale nie bardzo widzę w tym zadaniu: \(\displaystyle{ f=g|D _{f}}\).

Lepiej myśleć o tym, że funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest wydłużeniem funkcji \(\displaystyle{ f}\).

JK