Relacja równoważności

[kajmak13]

Witam! Mam problem z nastepującym zadaniem:

Okreslamy relację równoważności \(\displaystyle{ \sim}\) w zbiorze \(\displaystyle{ \mathcal{X}=\mathcal{P\left( \mathbb{N}\right) } \times \mathcal{P\left( \mathbb{N}\right) }}\) w następujący sposób:
\(\displaystyle{ \left\langle A,B\right\rangle \sim\left\langle C,D\right\rangle \Leftrightarrow \left( \left| A\right| =\left| B\right| \wedge \left|\mathbb{N} \setminus B \right| =\left|\mathbb{N} \setminus D \right|\right)}\).
a) znajdź klase abstrakcji pary \(\displaystyle{ \left\langle \left\{ 1\right\}, \mathbb{N}\right\rangle}\)
b) znajdź moce poszczególnych klas abstrakcji tej relacji
c) znajdź moc zbioru ilorazowego

Bardzo prosze o pomoc.

[Nihilius]

Na pewno ma być \(\displaystyle{ \left| A\right|=\left| B\right|}\) a nie np \(\displaystyle{ C}\) ?

[kajmak13]

Tak, moja pomyłka \(\displaystyle{ \left| A\right|=\left| C\right|}\)

[Nihilius]

Noo to a)
Skoro moce mają być równe to zbiory muszą mieć tyle samo elementów.
Skoro masz koniunkcje oba warunki muszą zachodzić, na drugiej współrzędnej musisz mieć \(\displaystyle{ D=\NN}\), by spełniono drugi warunek. A dla \(\displaystyle{ C}\), dla jakich zbiorów \(\displaystyle{ \in P(\NN)}\)
\(\displaystyle{ |C|=|\left\{ 1\right\} |}\) ?

[kajmak13]

Co do a to myślałam tak:
- \(\displaystyle{ \left| A\right|=\left| C\right|=1}\), czyli to sa wszystkie jednoelementowe podzbiory zbioru liczb naturalnych - czyli ich jest alef zero
- \(\displaystyle{ \left|\mathbb{N} \setminus B \right| =\left|\mathbb{N} \setminus D \right|}\), skoro \(\displaystyle{ B=\mathbb{N}}\), to \(\displaystyle{ D}\) musi być równoliczny z \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\) - a więc to bedą zbiory postaci \(\displaystyle{ \mathbb{N} \setminus \left\{\mbox{skończona liczba elementów}\right\}}\) - zbiorów o skończonej liczbie lelemntów jest przeliczalnie wiele, a więc wszystkich mozliwych zbiorów \(\displaystyle{ D}\) jest continuum
A stąd moc tej klasy abstrakcji będzie continuum.

Czy to jest poprawne? Jesli tak, to w jaki sposób to zapisac tak "formalnie"?

[Nihilius]

Z formalnym zapisem Ci nie pomoge bo sam mam z nim problem :p Ja wiem czy równoliczny ? A jak dasz za \(\displaystyle{ D}\)np liczby naturalne parzyste ? Różnica to liczby nieparzyste równoliczne z \(\displaystyle{ N}\)za to moce się nie zgodzą bo w pierwszej masz zbiór pusty a po prawej stronie zbiór nieskończony.Po mojemu \(\displaystyle{ D}\) musi być też równe \(\displaystyle{ N}\) i wtedy klas abstrakcji masz alef zero. Oczywiście mogę się mylić niech bardziej doświadczona osoba na forum się wypowie

[kajmak13]

A jak dasz za \(\displaystyle{ D}\) np liczby naturalne parzyste ? Różnica to liczby nieparzyste równoliczne z \(\displaystyle{ \NN}\) za to moce się nie zgodzą bo w pierwszej masz zbiór pusty a po prawej stronie zbiór nieskończony.

Napisałam, że to ma być zbiór postaci \(\displaystyle{ \mathbb{N} \setminus \left\{\mbox{skończona liczba elementów}\right\}}\) - liczby parzyste to nie jest jednak skończona liczba elementów

[Jan Kraszewski]

- \(\displaystyle{ \left|\mathbb{N} \setminus B \right| =\left|\mathbb{N} \setminus D \right|}\), skoro \(\displaystyle{ B=\mathbb{N}}\), to \(\displaystyle{ D}\) musi być równoliczny z \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\) - a więc to bedą zbiory postaci \(\displaystyle{ \mathbb{N} \setminus \left\{\mbox{skończona liczba elementów}\right\}}\)

Zastanów się jeszcze raz nad tym, co napisałaś, bo masz źle.
Co się stanie, jak podstawisz \(\displaystyle{ B=\NN}\) ?

JK

[kajmak13]

Faktycznie jest źle - no bo jak podstawię \(\displaystyle{ B=\NN}\) to wtedy \(\displaystyle{ |\NN \setminus B|=0}\), a jak zrobię tak jak chciałam i wezmę \(\displaystyle{ D=\mathbb{N} \setminus \left\{\mbox{skończona liczba elementów}\right\}}\) to wtedy moc się nie będzie zgadzać - głupi błąd...

Czyli klasa abstrakcji \(\displaystyle{ \left\langle \left\{ 1\right\}, \mathbb{N}\right\rangle}\) będą pary takie, że \(\displaystyle{ \left\langle \left\{ n\right\}, \mathbb{N}\right\rangle}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in \NN}\) - czyli będzie ich tyle ile możliwości wyboru \(\displaystyle{ n}\), więc alef zero.

Zgadza się?
Jesli tak, to jak powinno się to formalnie zapisać?

[Jan Kraszewski]

Zgadza się.

Odpowiedź do a) to:
\(\displaystyle{ \left[ \left\langle \{1\},\NN\right\rangle \right]_\sim=\left\{ \left\langle \{n\},\NN\right\rangle :n\in\NN\right\}}\)

Nad b) i c) musisz jeszcze popracować.

JK