Singleton zbioru w tymże zbiorze

[patry93]

Cześć.

Dopadło mnie zaćmienie - czy może być tak, by \(\displaystyle{ \{A\} \in A}\) w \(\displaystyle{ ZF}\)?
Z początku wydawało mi się, że odpowiedź negatywną od razu daje aksjomat regularności - ale nie, to było błędne skojarzenie (chyba).

[Spektralny]

To nie jest możliwe, ale nie mam na podorędziu łatwiejszego argumentu niż powołanie się na następujące twierdzenie:

Jeżeli \(\displaystyle{ x\in y}\), to \(\displaystyle{ \mbox{rank}\, x < \mbox{rank}\, y}\),

przy czym \(\displaystyle{ \mbox{rank}\, x}\) oznacza rząd zbioru \(\displaystyle{ x}\) w \(\displaystyle{ (V_\alpha)_{\alpha\, {\rm liczba\; porządkowa}}}\), tj.

\(\displaystyle{ \mbox{rank}\,x = \min\{\alpha \colon x\in V_{\alpha+1}\}}\).

Zauważmy, że \(\displaystyle{ V_\alpha = \{x\colon \mbox{rank}\,x <\alpha\}}\). Rzeczywiście,

\(\displaystyle{ \mbox{rank}\, x < \alpha \iff (\exists \beta <\alpha) (x\in V_{\beta +1}) \iff x\in V_\alpha.}\)

Załóżmy więc teraz, że \(\displaystyle{ x\in y}\). Niech \(\displaystyle{ \alpha = \mbox{rank}\, y}\). Wówczas \(\displaystyle{ y\in \wp(V_\alpha)}\) czyli \(\displaystyle{ x\in V_\alpha}\). Ostatecznie, \(\displaystyle{ \mbox{rank}\,x <\alpha}\). \(\displaystyle{ \square}\)

Twoja intuicja z aksjomatem regularności była dobra. Używamy go tutaj istotnie wiedzieć, że

\(\displaystyle{ V=\bigcup_\alpha V_\alpha}\)

jest klasą wszystkich zbiorów.

[Jan Kraszewski]

Z początku wydawało mi się, że odpowiedź negatywną od razu daje aksjomat regularności - ale nie, to było błędne skojarzenie (chyba).

Daje od razu, bo gdyby \(\displaystyle{ \{A\}\in A}\), to mamy "pętelkę" \(\displaystyle{ \{A\}\in A\in \{A\}}\), które są w prosty sposób wykluczane przez aksjomat regularności (tu zastosowany do zbioru \(\displaystyle{ \{A,\{A\}\}}\)).

JK

[patry93]

Hah, fajnie jest popatrzeć na dwa różne podejścia (chyba, że znów mnie ktoś zadziwi i pokaże, że są one tak naprawdę zakamuflowanym jednym ).
Dziękuję!

[Jan Kraszewski]

(chyba, że znów mnie ktoś zadziwi i pokaże, że są one tak naprawdę zakamuflowanym jednym ).

W pewnym sensie tak jest. Aksjomat regularności umożliwia nam zdefiniowanie rangi zbioru, więc ten dowód tak czy inaczej sprowadza się do aksjomatu regularności.

JK