Udowodnij równość zbiorów.

[Krzychuwasik]

Polecenie: Udowodnić korzystając z odpowiednich definicji działań na zbiorach oraz praw logiki.
\(\displaystyle{ (A \cup B) \cap (A \cap B)=A \cap B}\)
Prosiłbym o wytłumaczenie jak to udowodnić. Próbowałem sam to zrobić, ale chyba źle mi coś wyszło.
\(\displaystyle{ x \in (A \cup B) \cap (A \cap B) \Leftrightarrow (x \in A \vee x \in B) \wedge(x \in A \wedge x \in B)}\)

[Chromosom]

Zastosuj rozdzielność koniunkcji względem alternatywy.

[Krzychuwasik]

Ale to prawo chyba nie działa w tym przypadku.

[Jan Kraszewski]

A dlaczego? Traktujesz \(\displaystyle{ x\in A\land x\in B}\) jako jeden czynnik.

JK

[Krzychuwasik]

\(\displaystyle{ x \in (A \cup B) \cap (A \cap B) \Leftrightarrow (x \in A \vee x \in B) \wedge(x \in A \wedge x \in B) \Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow ((x \in A \wedge x \in B) \wedge x \in A) \vee((x \in A \wedge x \in B) \wedge x \in B) \Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow (x \in A \wedge x \in B) \vee (x \in A \wedge x \in B) \Leftrightarrow x \in A \cap B \vee x \in A \cap B \Leftrightarrow A \cap B}\)

Czy to jest dobrze od poczatku do końca? Chodzi mi o poprawność zapisu.

[Jan Kraszewski]

Prawie. Na końcu powinno być \(\displaystyle{ x\in A\cap B}\), a nie \(\displaystyle{ A\cap B}\).

JK