Wyznaczyć kres dolny i kres górny zbioru

[bob1000]

Znalazłem na forum taki przykład: \(\displaystyle{ A=\left\{ \frac{m}{n}: n \in N, m \in N, m < 2n \right\}}\). Wyrażenie \(\displaystyle{ m<2n}\) powoduje, że się gubię w myślach. Ktoś wytłumaczy?

[bartek118]

Skoro \(\displaystyle{ m < 2n}\), to \(\displaystyle{ \frac{m}{n} < \frac{2n}{n} = 2}\) i będziemy mieć \(\displaystyle{ \sup A = 2}\). Co do infimum - odpowiedź to \(\displaystyle{ \inf A = 0}\) - spróbuj sam to przemyśleć.

[oldj]

Ja tylko dodam, że trzeba jeszcze pokazać, że nie istnieje ograniczenie górne mniejsze od 2 - sama nierówność \(\displaystyle{ \frac{m}{n} < 2}\) gwarantuje nam tylko to, że 2 jest ograniczeniem górnym.

[bob1000]

Kolejny przykład:
\(\displaystyle{ B=\left\{ \frac{ \sqrt{2} }{n}- \frac{ \sqrt{3} }{m}; m,n \in \NN \right\}}\).
Wartość \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{n}- \frac{ \sqrt{3} }{m}}\) jest najmniejsza gdy od najmniejszej wartości \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{n}}\) odejmiemy największą wartość \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{m}}\). Zatem \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\), a \(\displaystyle{ m=1}\). Mamy zatem \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{n}-\sqrt{3}}\). Zatem wydaje się, że \(\displaystyle{ \inf B=\sqrt{3}}\). Co więcej zbiór B nie ma elementu najmniejszego.
Dobrzę myślę?-- 6 paź 2013, o 22:44 --Kolejny przykład jest taki:
\(\displaystyle{ C=\left\{ \frac{x}{ x^{2}+1 }: x\in\RR \right\}}\). Jak nie mając wykresu oszacować kresy?
Widać, że elementy zbióru \(\displaystyle{ C}\) dla \(\displaystyle{ x<0}\) są ujemne a dla \(\displaystyle{ x\ge0}\) są dodatnie. Jak można dojść do kresów?

[oldj]

brak minusa \(\displaystyle{ \inf B = -\sqrt{3}}\)
ogólnie ok, ale jakby co napiszę to bardziej formalnie (choć w sumie mogłoby być bardziej formalnie) : \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{n}- \frac{ \sqrt{3} }{m} > -\sqrt{3}}\) dla każdego \(\displaystyle{ n,m}\) naturalnego, więc \(\displaystyle{ -\sqrt{3}}\) jest ograniczeniem dolnym. A nie można znaleźć większego ogr. dolnego, bo wartość \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{n}- \frac{ \sqrt{3} }{m}}\) może być dowolnie blisko \(\displaystyle{ -\sqrt{3}}\) (ponieważ przy \(\displaystyle{ m=1, n \rightarrow \infty}\) wyrażenie to dąży do \(\displaystyle{ -\sqrt{3}}\))
(pewnie miałeś to na myśli, ale nie zaszkodzi napisać)

Co więcej zbiór B nie ma elementu najmniejszego.

tak - bo infimum nie należy do zbioru.

[bob1000]

Chodziło mi o \(\displaystyle{ -\sqrt{3}}\). Przeoczyłem minus.
Jak postąpiłbyś ze zbiorem \(\displaystyle{ C}\)?

[bartek118]

Ja rozpatrzyłbym funkcję \(\displaystyle{ f(x) = \frac{x}{x^2+1}}\) i zbadał ją używając pochodnej. Widać, że w nieskończonościach granica tego jest \(\displaystyle{ 0}\), zatem kresy będą osiągane przez tę funkcję, ponieważ leżą gdzieś w odcinku zwartym \(\displaystyle{ [- \delta, \delta ]}\).

[Kartezjusz]

bob1000 ma 18 lat, więc może pochodnej nie znać. Użyję elementarnych metod.

Zauważmy, że nasza funkcja może przyjąć wartości i dodatnie\(\displaystyle{ f(1)}\) i ujemne\(\displaystyle{ f(-1)}\)

Zatem możemy stwierdzić, że kres górny jest dodatni. i wysosi
Zauważmy najpierw,że
\(\displaystyle{ f(x) \le \frac{1}{2}}\) Ze względu na dodatniość liczb możemy bezpiecznie pomnożyć na krzyż
Uzyskamy \(\displaystyle{ 2x \le x^{2}+1}\) Jak przeniesiemy lewą stronę na prawo otrzymamy wzór, który możemy zbić do kwadratu ze wzorów skróconego mnożenia. Ze względu, że w \(\displaystyle{ x=1}\) mamy równość mamy,że \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) jest najmniejszym ograniczeniem górnym.

Analogicznie się dowodzi,że kresem dolnym jest \(\displaystyle{ - \frac{1}{2}}\)

[bob1000]

Zbiór \(\displaystyle{ \left\{ 2;3;4;5;6\right\}}\) nie posiada kresów.
TAK czy NIE?!

[Jan Kraszewski]

Oczywiście, że posiada.

JK

[bob1000]

Ograniczony jest. Widać.

Kres górny: Musi istnieć liczba np \(\displaystyle{ M}\), dla której dobierzemy dowolny(dodatni) \(\displaystyle{ \epsilon}\). Z kolei dla tego dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon}\) musi istnieć jakaś liczba \(\displaystyle{ f'}\) należąca do tego zbioru taka, że \(\displaystyle{ f'>M-\epsilon}\). Wydaje mi się to niemożliwe, gdyż jest \(\displaystyle{ 5}\) a potem \(\displaystyle{ 6}\), zatem nie ma tutaj dowolnie bliskiej liczby przy \(\displaystyle{ 6}\). Proszę o weryfikację.

[Jan Kraszewski]

Kres górny: Musi istnieć liczba np \(\displaystyle{ M}\), dla której dobierzemy dowolny(dodatni) \(\displaystyle{ \epsilon}\). Z kolei dla tego dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon}\) musi istnieć jakaś liczba \(\displaystyle{ f'}\) należąca do tego zbioru taka, że \(\displaystyle{ f'>M-\epsilon}\). Wydaje mi się to niemożliwe, gdyż jest \(\displaystyle{ 5}\) a potem \(\displaystyle{ 6}\), zatem nie ma tutaj dowolnie bliskiej liczby przy \(\displaystyle{ 6}\). Proszę o weryfikację.

Do niczego. Tak to jest, jak używa się definicji bez zrozumienia.

Przecież ten zbiór ma element największy.

JK

[bob1000]

Dobrze. Proszę jeszcze o jedną rzecz.

\(\displaystyle{ a}\) należy do zbioru \(\displaystyle{ X}\) przy tej definicji kresu górnego?

-- 5 paź 2015, o 11:56 --

Należy!
Dziekuje-- 5 paź 2015, o 12:04 --Mam to!

[Jan Kraszewski]

Najlepiej pamięta się to, co się samodzielnie zrozumiało...

JK