Mały problem z przedziałami

[karpiuch]

Dostałem zadanie o treści: Zapisz w postaci przedziału lub sumy przedziałów... Podam dwa przykłady z którymi mam problem: \(\displaystyle{ C \cap \left\langle -3, 2 \right)}\) Jak mogę to zapisać w postaci przedziałów, skoro wtedy do przedziału należały by też ułamki itp., a to do całkowitych liczb nie należy, potrafiłbym to zapisać jedynie za pomocą wzorów. Drugi przykład bardzo podobny: \(\displaystyle{ N - \left( - \infty, 7\right)}\)
Oraz mam pytanie czy dobrze mi wyszło: \(\displaystyle{ \left[ \left( - \infty, 2 \right\rangle \cup \left\langle 5, \infty \right) \right]' - \left[ \left\langle -3, 3 \right\rangle \right]'= \left\langle -3,2 \right)}\)

[robertm19]

Oraz mam pytanie czy dobrze mi wyszło: \(\displaystyle{ \left[ \left( - \infty, 2 \right\rangle \cup \left\langle 5, \infty \right) \right]' - \left[ \left\langle -3, 3 \right\rangle \right]'= \left\langle -3,2 \right)}\)

To jest źle. A zadania nie rozumiem. Zbiór \(\displaystyle{ C cap [-3,2)}\), składa się z sumy singletonów, jakie przedziały tu maja być?

[Kamaz]

Zbiory jednoelementowe to także przedziały domknięte, na przykład \(\displaystyle{ \{1\}=\langle1,1\rangle}\). W pierwszym przykładzie odpowiedzią jest \(\displaystyle{ \{-3\}\cup\{-2\}\cup\ldots\cup\{1\}}\).

[ucwmiu]

Nie wyszło Ci dobrze, powinno być:

\(\displaystyle{ (- \infty, -3) \cup \left\langle 5, + \infty \right\rangle}\)

[karpiuch]

Zbiory jednoelementowe to także przedziały domknięte, na przykład \(\displaystyle{ \{1\}=\langle1,1\rangle}\). W pierwszym przykładzie odpowiedzią jest \(\displaystyle{ \{-3\}\cup\{-2\}\cup\ldots\cup\{1\}}\).

Czyli tak jak myślałem, że trzeba to zapisać za pomocą "klamerek".

W tym zadaniu miałem: \(\displaystyle{ \left[ \left( 2, \infty \right) \cup \left( - \infty , 5\right)\right] - \left[ \left( - \infty, -3\right) \cup \left( 3, \infty \right) \right]}\) Czyli tutaj gdzieś popełniłem błąd?

ucwmiu, ale tam po nawiasach są te "primy" przecież, to jak możliwe, że wyszło Ci coś takeigo?

[ucwmiu]

A, ok, nie zauważyłem, sorry, powinno być:

\(\displaystyle{ (2, 3]}\)

[karpiuch]

Mógłbyś mi rozpisać to zadanie na "czynniki pierwsze" żebym mógł zrozumieć to od podstaw?

[Kamaz]

Najpierw zauważamy, że \(\displaystyle{ [ ( - \infty, 2 \rangle \cup\langle 5, \infty ) ]' = (2,5)}\), a potem korzystamy z tego, że \(\displaystyle{ A\setminus B'= A\cap B}\).

[karpiuch]

Czyli źle zrozumiałem to, że: \(\displaystyle{ \left[\left( - \infty ,2 \right\rangle \cup \left\langle 5, \infty \right) \right]'}\) jest równe \(\displaystyle{ \left( 2,5 \right)}\), a nie \(\displaystyle{ \left( 2, \infty \right) \cup \left( - \infty ,5 \right)}\)

[Kamaz]

Najprościej to zobaczyć na rysunku (albo w wyobraźni w razie braku kartki).

[karpiuch]

Już wiem gdzie popełniłem błąd... Najpierw dopełniłem, a potem sumowałem to w nawiasie, a trzeba było na odwrót. Czyli ta suma w nawiasie jest w pewnym sensie razem, ale oddzielnie na osi i dopełnieniem tej sumy przedziałów będzie \(\displaystyle{ \left( 2,5\right)}\). A co do tego: \(\displaystyle{ A \setminus B'= A \cap B}\) oznacza że tego po drugiej stronie równości (\(\displaystyle{ \left[ \left\langle -3,3\right\rangle \right]}\) nie trzeba dopełniać, tak?

[Kamaz]

Zgodnie z tym wzorem otrzymujemy \(\displaystyle{ (2,5)\cap\langle-3,3\rangle}\). Tu już żadnego dopełnienia nie ma.

[ucwmiu]

Czyli źle zrozumiałem to, że: \(\displaystyle{ \left[\left( - \infty ,2 \right\rangle \cup \left\langle 5, \infty \right) \right]'}\) jest równe \(\displaystyle{ \left( 2,5 \right)}\), a nie \(\displaystyle{ \left( 2, \infty \right) \cup \left( - \infty ,5 \right)}\)

Jest nawet takie twierdzenie, że dla \(\displaystyle{ A,\;B \subset X\;\; (A \cup B)' = A' \cap B`}\).

Spróbuj wykazać - to nie jest trudne

Się de Mogran toto nazywa

[karpiuch]

Czyli przedziały też mają prawa de Morgana. Mam wykazać to podstawiając liczby jakieś?

e; zrobiłem na powyższym zadaniu.


Teraz pytanie: \(\displaystyle{ \left[ \left\langle -4, \infty \right) \cap \left( -5, 7 \right\rangle \right]' = \left( - \infty , -4 \right) \cup \left( 7, \infty \right)}\) Tak wyjdzie? Oby..

[ucwmiu]

No tak, zapisz wynik jako jeden przedział