Zastanawiam się, jak stworzyć bijekcję między zbiorami punktów z przedziału \(\displaystyle{ (- \infty ,3]}\) oraz \(\displaystyle{ (0,1)}\). Myślałem nad funkcją \(\displaystyle{ F: (0,1) \rightarrow [0,1)}\), która jest bijekcją. A następnie stworzyć bijekcję \(\displaystyle{ G}\) między przedziałami \(\displaystyle{ (- \infty ,3]}\) a \(\displaystyle{ [0,1)}\). Tą bijekcją byłaby funkcja malejąca, o miejscu zerowym w punkcie 3. Przy czym 3 byłoby największym argumentem. Jak już powiedziałem, funkcja byłaby malejąca. Wartości funkcji dla pozostałych argumentów zbliżałyby się do 1, nigdy nie osiagając tej wartości.
Szukaną bijekcja byłoby więc \(\displaystyle{ G}\) złożone z \(\displaystyle{ F}\). Problem z tym, że nie potrafię zapisac funkcji \(\displaystyle{ F}\) za pomocą języka matematyki. A może łatwiej byłoby stworzyć bijekcję między zbiorem liczb rzeczywistych a przedziałem \(\displaystyle{ (- \infty ,3]}\)?
Bijekcja - zbiory mocy continuum
-
yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Bijekcja - zbiory mocy continuum
W obu przypadkach funkcja \(\displaystyle{ F}\) będzie tak samo "trudna". Problem w przypadku bijekcji
\(\displaystyle{ F: (0,1) \to [0,1)}\)
polega na tym, że musi być ona dziurawa, tzn jej wykresu nie narysujesz jako linii ciągłej.
Narysuj sobie wykres funkcji \(\displaystyle{ x\mapsto x}\) na przedziale \(\displaystyle{ (0,1)}\). Modyfikujemy.
Ponieważ funkcja musi przyjąć wartość równą \(\displaystyle{ 0}\), to niech ją przyjmie w punkcie \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Ale teraz \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) nie jest przyjmowana, to niech będzie przyjęta w punkcie \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\). Teraz \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) w punkcie \(\displaystyle{ \frac{1}{8}}\) itd.
\(\displaystyle{ F: (0,1) \to [0,1)}\)
polega na tym, że musi być ona dziurawa, tzn jej wykresu nie narysujesz jako linii ciągłej.
Narysuj sobie wykres funkcji \(\displaystyle{ x\mapsto x}\) na przedziale \(\displaystyle{ (0,1)}\). Modyfikujemy.
Ponieważ funkcja musi przyjąć wartość równą \(\displaystyle{ 0}\), to niech ją przyjmie w punkcie \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Ale teraz \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) nie jest przyjmowana, to niech będzie przyjęta w punkcie \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\). Teraz \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) w punkcie \(\displaystyle{ \frac{1}{8}}\) itd.