Bijekcja - zbiory mocy continuum

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Bajkal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 22 cze 2013, o 10:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Bijekcja - zbiory mocy continuum

Post autor: Bajkal » 22 cze 2013, o 10:27

Zastanawiam się, jak stworzyć bijekcję między zbiorami punktów z przedziału \(\displaystyle{ (- \infty ,3]}\) oraz \(\displaystyle{ (0,1)}\). Myślałem nad funkcją \(\displaystyle{ F: (0,1) \rightarrow [0,1)}\), która jest bijekcją. A następnie stworzyć bijekcję \(\displaystyle{ G}\) między przedziałami \(\displaystyle{ (- \infty ,3]}\) a \(\displaystyle{ [0,1)}\). Tą bijekcją byłaby funkcja malejąca, o miejscu zerowym w punkcie 3. Przy czym 3 byłoby największym argumentem. Jak już powiedziałem, funkcja byłaby malejąca. Wartości funkcji dla pozostałych argumentów zbliżałyby się do 1, nigdy nie osiagając tej wartości.
Szukaną bijekcja byłoby więc \(\displaystyle{ G}\) złożone z \(\displaystyle{ F}\). Problem z tym, że nie potrafię zapisac funkcji \(\displaystyle{ F}\) za pomocą języka matematyki. A może łatwiej byłoby stworzyć bijekcję między zbiorem liczb rzeczywistych a przedziałem \(\displaystyle{ (- \infty ,3]}\)?

Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Bijekcja - zbiory mocy continuum

Post autor: yorgin » 22 cze 2013, o 11:03

W obu przypadkach funkcja \(\displaystyle{ F}\) będzie tak samo "trudna". Problem w przypadku bijekcji

\(\displaystyle{ F: (0,1) \to [0,1)}\)

polega na tym, że musi być ona dziurawa, tzn jej wykresu nie narysujesz jako linii ciągłej.

Narysuj sobie wykres funkcji \(\displaystyle{ x\mapsto x}\) na przedziale \(\displaystyle{ (0,1)}\). Modyfikujemy.
Ponieważ funkcja musi przyjąć wartość równą \(\displaystyle{ 0}\), to niech ją przyjmie w punkcie \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Ale teraz \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) nie jest przyjmowana, to niech będzie przyjęta w punkcie \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\). Teraz \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) w punkcie \(\displaystyle{ \frac{1}{8}}\) itd.

ODPOWIEDZ