Wyznaczyć obraz zbioru

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
xtopeczkax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 6 maja 2013, o 19:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 6 razy

Wyznaczyć obraz zbioru

Post autor: xtopeczkax » 31 maja 2013, o 14:51

Dany jest zbiór \(\displaystyle{ D= \left\{ z\in \CC:1 \le \left| z\right| \le 2,\left|\mbox{arg }z\right|< \frac{\pi}{4} \right\}}\). Wyznaczyć obraz zbioru \(\displaystyle{ D}\) przy odwzorowaniu
(a) \(\displaystyle{ w=3iz^2}\)

(b) \(\displaystyle{ h \left( z \right) = \frac{1+z}{1-z}}\)

Proszę o pomoc bo nie mam pojęcia jak to zrobić...
Ostatnio zmieniony 31 maja 2013, o 21:59 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale. Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8200
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 273 razy
Pomógł: 3202 razy

Wyznaczyć obraz zbioru

Post autor: kerajs » 1 cze 2013, o 05:45

\(\displaystyle{ w=3e ^{i \frac{ \pi }{2} }( |z|e ^{i \phi} ) ^{2}=3e ^{i \frac{ \pi }{2} }( |z| ^{2}e ^{2i\phi} )=3|z| ^{2}e ^{i \frac{ \pi }{2} +2i\phi}=3|z| ^{2}e ^{i (\frac{ \pi }{2} +2\phi)}}\)

Wstawiając wartości modułu i kąta mam połówkę (tylko dla i\(\displaystyle{ m(z)>0}\) ) pierścienia (a raczej pączka) o środku w centrum płaszczyzny Gaussa gdzie \(\displaystyle{ 3 \le r \le 12}\)

xtopeczkax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 6 maja 2013, o 19:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 6 razy

Wyznaczyć obraz zbioru

Post autor: xtopeczkax » 1 cze 2013, o 09:16

Mógłby mi ktoś podpowiedzieć jak zabrać się za przykład b?

Mógłby mi ktoś sprawdzić?

\(\displaystyle{ w=iz^2}\)

Mamy \(\displaystyle{ \left| w\right|=\left| 3iz^2\right|=\left| 3i\right|\left| z^2\right|=3\left| z^2\right|}\)

Stąd \(\displaystyle{ 1 \le \left| z\right| \le 2, 3 \le \left| w\right| \le 12}\)

\(\displaystyle{ \Phi=\mbox{arg}3i+\mbox{arg}z^2= \frac{\pi}{3}+2\mbox{arg}z}\)

\(\displaystyle{ \mbox{arg}z< \frac{\pi}{4} \Leftrightarrow \Phi< \frac{5}{6}\pi}\)

Więc obrazem zbioru \(\displaystyle{ D}\) jest zbiór \(\displaystyle{ D'= \left\{ w\in \CC: 3 \le \left| w\right| \le 12,\Phi< \frac{5}{6} \pi \right\}}\)

I teraz rysujemy. Na płaszczyźnie z będzie zaznaczony łuk na \(\displaystyle{ Re\ z}\) od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 2}\) i do \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) a na płaszczyźnie \(\displaystyle{ w}\) będzie na \(\displaystyle{ Im\ w}\) od \(\displaystyle{ -3i}\) do \(\displaystyle{ -12i}\) i do \(\displaystyle{ \frac{5}{6}\pi}\)

Dobrze?
Ostatnio zmieniony 3 cze 2013, o 11:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8200
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 273 razy
Pomógł: 3202 razy

Wyznaczyć obraz zbioru

Post autor: kerajs » 3 cze 2013, o 10:46

xtopeczkax pisze:Mógłby mi ktoś podpowiedzieć jak zabrać się za przykład b?

Mógłby mi ktoś sprawdzić?

\(\displaystyle{ w=iz^2}\)

Mamy \(\displaystyle{ \left| w\right|=\left| 3iz^2\right|=\left| 3i\right|\left| z^2\right|=3\left| z^2\right|}\)

Stąd \(\displaystyle{ 1 \le \left| z\right| \le 2, 3 \le \left| w\right| \le 12}\)

\(\displaystyle{ \Phi=\mbox{arg}3i+\mbox{arg}z^2= \frac{\pi}{3}+2\mbox{arg}z}\)

Dobrze?
Prawie dobrze.
A skąd wziąłeś \(\displaystyle{ 3}\) w \(\displaystyle{ \mbox{arg}3i}\) ? Przecieź \(\displaystyle{ i}\) nie jest potęgowane, a jedynie mnożone przez skalar(liczbę \(\displaystyle{ 3}\)) . Zatem kątem \(\displaystyle{ i}\) jak i \(\displaystyle{ 3i}\) jest \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\).
Na płaszczyźnie z będzie zaznaczony łuk na \(\displaystyle{ Re\ z}\) od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 2}\) i do a na płaszczyźnie \(\displaystyle{ w}\) będzie na \(\displaystyle{ Im\ w}\) od \(\displaystyle{ -3i}\) do \(\displaystyle{ -12i}\)
Przecież sam wyliczyłeś że promień wodzący (argument/moduł z ,,z') zmienia się od \(\displaystyle{ 3}\) do \(\displaystyle{ 12}\)
Wykonaj ponownie obliczenia i masz wynik jak podałem wyżej.
Sorry, nie wiedziałem ze nie znasz postaci wykładniczej liczby zespolonej.

Co do b) to miałbym rozwiązanie ale jest mało eleganckie.
Napisz nowy post z tym zadaniem, jakt nikt nie poda przyjemnego sposobu to napiszę swoja wersję
Ostatnio zmieniony 3 cze 2013, o 13:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

xtopeczkax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 6 maja 2013, o 19:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 6 razy

Wyznaczyć obraz zbioru

Post autor: xtopeczkax » 3 cze 2013, o 11:50

dzięki. Zaraz policzę od nowa. Co do nowego postu to próbowałam napisać nowy osobno z przykładem a, to administrator go usunął ponieważ potraktował go jako dublowanie postów więc z przykładem a raczej będzie to samo

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 30652
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4889 razy

Wyznaczyć obraz zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 3 cze 2013, o 13:25

Nie administrator, tylko moderator. Administracja zajmuje się poważniejszymi rzeczami.

Tak, będzie tak samo. Dyskusja na temat podanych zadań powinna być toczona w tym wątku.

JK

xtopeczkax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 6 maja 2013, o 19:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 6 razy

Wyznaczyć obraz zbioru

Post autor: xtopeczkax » 3 cze 2013, o 13:37

Tak tak, moderator. Sorki:)

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8200
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 273 razy
Pomógł: 3202 razy

Wyznaczyć obraz zbioru

Post autor: kerajs » 4 cze 2013, o 17:24

\(\displaystyle{ w=3iz ^{2} =3 \left[ |1| \left( \cos \frac{ \pi }{2} +i \sin \frac{ \pi }{2} \right) \right] \left( \left[ |z| \left( \cos \alpha +i\sin \alpha \right) \right] ^{2} \right)=\\=3 \left[ |1| \left( \cos \frac{ \pi }{2}+i \sin \frac{ \pi }{2} \right) \right] \left[ |z| ^{2} \left( \cos (2 \alpha) +i\sin(2 \alpha)\right) \right]=\\=3|1||z| ^{2} \left(\cos \left(\frac{ \pi }{2} +2 \alpha \right)+i\sin \left( \frac{ \pi }{2} +2 \alpha \right) \right) =3|z| ^{2} \left( \cos \left( \frac{ \pi }{2} +2 \alpha \right) +i\sin \left( \frac{ \pi }{2} +2 \alpha \right) \right)}\)

czyli \(\displaystyle{ 3 \le |w| \le 12}\) oraz \(\displaystyle{ 0<\mbox{arg} \left( w \right) < \pi}\)

Zaglądnij też do wiadomości
Ostatnio zmieniony 4 cze 2013, o 20:37 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.

xtopeczkax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 6 maja 2013, o 19:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 6 razy

Wyznaczyć obraz zbioru

Post autor: xtopeczkax » 5 cze 2013, o 14:34

Przykład b) robię tak:

Najpierw wyliczam sobie \(\displaystyle{ z}\) z \(\displaystyle{ h= \frac{1+z}{z-1}}\)
\(\displaystyle{ w(z-1)=1+z}\)
\(\displaystyle{ wz-w=1+z}\)
\(\displaystyle{ wz-z=1+w}\)
\(\displaystyle{ z(w-1)=1+w}\)
\(\displaystyle{ z= \frac{1+w}{w-1}}\)
Dalej stosuję się do homografi czyli
\(\displaystyle{ \left| \frac{1+w}{w-1}-i \right| \le 1}\)
\(\displaystyle{ \left| \frac{1+w}{w-1}- \frac{i(w-1)}{w-1} \right| \le 1}\)
\(\displaystyle{ \left| \frac{1+w-iw+i}{w-1} \right| \le 1}\)
\(\displaystyle{ \left| 1+w-iw+i\right| \le \left[ w-1\right]}\)

z drugiej strony dla \(\displaystyle{ \le 2}\) będzie podobnie
pomoże ktoś co dalej?

ODPOWIEDZ