surjekcja, funkcja trygonometryczna, iloczy kartezjański

[nne]

Pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ f: [0, 2\pi] \times [0, \infty)\rightarrow \RR^2}\) zdefiniowana wzorem \(\displaystyle{ f(\varphi, r) = \left< r \cos \varphi, r \sin \varphi \right>}\) jest surjekcją.

Oczywiste dla mnie jest, że zarówno pierwsza jak i druga para mogą przyjąć dowolne wartości. Problem w tym, że obie pary są od siebie zależne i dlatego nie mam pewności co do surjekcji. Można tu w jakiś prosty sposób zauważyć surjekcję czy potrzebuję trochę bardziej zaawansowanej wiedzy trygonometrycznej (której jak na razie zbytnio nie posiadam)?

[Dasio11]

A czy wyobrażasz sobie, dlaczego to naprawdę jest surjekcja?
Jeśli tak, to czy umiałbyś wyjaśnić komuś, w jaki sposób dla danej pary \(\displaystyle{ \left< x, y \right>}\) znaleźć takie \(\displaystyle{ \varphi \in [0, 2 \pi], r \in [0, \infty),}\) że

\(\displaystyle{ x = r \cos \varphi \\
y = r \sin \varphi}\) ?

[nne]

A czy wyobrażasz sobie, dlaczego to naprawdę jest surjekcja?

Nie, właśnie to jest mój problem. Bez problemu rozumiem, że \(\displaystyle{ r \cos \varphi}\) może przyjąć dowolną wartość oraz \(\displaystyle{ r \sin \varphi}\) może przyjąć dowolną wartość. Natomiast nie mogę sobie wyobrazić, że para \(\displaystyle{ \left< r \cos \varphi, r \sin \varphi \right>}\) może przyjąć dowolną wartość.

[Dasio11]

No dobrze. To weź dowolny punkt \(\displaystyle{ \left< x, y \right>}\) płaszczyzny, na razie z pierwszej ćwiartki - tj. taki, że \(\displaystyle{ x>0}\) oraz \(\displaystyle{ y>0,}\) i narysuj ten punkt w układzie współrzędnych. Potem narysuj prostopadły odcinek łączący ten punkt z osią OX i drugi odcinek łączący punkt \(\displaystyle{ \left< x, y \right>}\) z początkiem układu współrzędnych. Długość tego drugiego oznacz przez \(\displaystyle{ r.}\)
Powstał trójkąt prostokątny o wierzchołkach \(\displaystyle{ \left<x, y \right>, \ \left< x, 0 \right>}\) oraz \(\displaystyle{ \left< 0, 0 \right>,}\) którego przeciwprostokątna ma długość \(\displaystyle{ r.}\) Oznacz przez \(\displaystyle{ \varphi}\) kąt tego trójkąta, który leży przy wierzchołku \(\displaystyle{ \left< 0, 0 \right>.}\)
Czy potrafisz uzasadnić, że dla tak zdefiniowanych \(\displaystyle{ \varphi, r}\) zachodzą równości

\(\displaystyle{ x = r \cos \varphi \\
y = r \sin \varphi}\) ?

[nne]

Tak, chyba już rozumiem. Równania wynikają bezpośrednio z definicji sinusa i cosinusa. Wybieram dowolną parę \(\displaystyle{ (x,y)}\) z osi \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\). Nasŧepnie mogę "przesunąć" (i jednocześnie zmienić długość) odcinek \(\displaystyle{ r}\) i co za tym idzie \(\displaystyle{ \varphi}\) . Innymi słowy mogę dobrać taki kąt oraz taki \(\displaystyle{ r}\), które stworzą dowolną parę.

[Jan Kraszewski]

Dokładniej: .

JK