Matematyka.pl

Witam serdecznie,

Na niedawnym kolokwium z matematyki dyskretnej miałem zadanie które rozwiązałem błędnie, chcąc przygotować się do poprawy chciałbym prosić Państwa o pomoc i ewentualne wytłumaczenie

Treść zadania: "Dany jest zbiór punktów w \(\displaystyle{ \RR^{2}}\) leżących na prostej \(\displaystyle{ x=y}\) oraz relacja \(\displaystyle{ R}\): \(\displaystyle{ R^{2}\times R^{2}\supseteq R= \left\{\left\langle \left\langle a,b \right\rangle,\left\langle c,d \right\rangle \right\rangle:a+b=c+d \right\}}\) . Sprawdź, czy ta relacja jest zwrotna, symetryczna, antysymetryczna, przechodnia, spójna. Jeżeli jest relacją równoważności to podaj jej klasy abstrakcji, jeśli jest relacją porządku to podaj elementy minimalne, maksymalne, najmniejsze, największe (o ile istnieją)."

Rozwiązując zadanie napisałem, iż relacja jest zwrotna, symetryczna, antysymetryczna, przechodnia, spójna, ale musiało być to błędne rozwiązanie.

Dochodzę do wniosku że musiałem źle zrozumieć co jest relacją \(\displaystyle{ R}\) w tym zadaniu, przykładowo wykazując symetryczność zapisałem \(\displaystyle{ \bigwedge a,b,c,d \in \RR^{2} \left( a+b=c+d \right) \Rightarrow \left( c+d=a+b \right)}\).

Proszę o pomoc i pozdrawiam serdecznie,
Mateusz

Zapis zupełnie do bani. Zapisz dwa elementy w relacji

Niestety, nie rozumiem w czym leży mój błąd...

czy chodzi o zapis \(\displaystyle{ \bigwedge \left\langle \left\langle a,b \right\rangle,\left\langle c,d \right\rangle \right\rangle \in \RR^{2} \times \RR^{2} \ \left( a+b=c+d \right) \Rightarrow \left( c+d=a+b \right)}\) ?

Dalej do bani, zapisz, że dwa elementy są w relacji, bez rozpisywania co to za relacja

\(\displaystyle{ \left\langle a,b \right\rangle R\left\langle c,d \right\rangle}\) . Mimo wszystko chyba mam problem ze zdefiniowaniem samej relacji...

No i ok, od tego trzeba zaczynać każdy zapis. Więc co z tego zapisu wynika?

Wynika, iż współrzędne punktu 1 są w relacji ze współrzędnymi punktu 2. Biorąc pod uwagę definicję relacji i to, że punkty leżą na prostej \(\displaystyle{ x=y}\) to można uznać, że \(\displaystyle{ b=a}\) oraz \(\displaystyle{ d=c}\). Wnioskuję, że relacja sprowadzi się wtedy do postaci \(\displaystyle{ \RR^{2} \times \RR^{2} \supseteq R= \left\{ \left\langle \left\langle a,a \right\rangle,\left\langle c,c \right\rangle \right\rangle:2a=2c \right\}}\), a ciągnąc to rozumowanie dalej wnioskuję, że punkty te muszą być w rzeczywistości jednym punktem. Biorąc pod uwagę jednak 0 punktów za rozwiązanie pewnie źle wnioskuję...

Jeżeli oba punkty leżą na prostej \(\displaystyle{ x = y}\), to rzeczywiście relacja określona tylko dla tych punktów będzie antysymetryczna. Jednakże spójna nie jest. Dlaczego? Co z drugą częścią zadania?

Czy dobrze kombinuję myśląc, że skoro jest antysymetryczna to musi zachodzić na raz \(\displaystyle{ xRy \wedge yRx}\), a nie jest spójna bo w definicji spójności jest alternatywa?

megafon pisze:Treść zadania: "Dany jest zbiór punktów w \(\displaystyle{ \RR^{2}}\) leżących na prostej \(\displaystyle{ x=y}\) oraz relacja \(\displaystyle{ R}\): \(\displaystyle{ R^{2}\times R^{2}\supseteq R= \left\{\left\langle \left\langle a,b \right\rangle,\left\langle c,d \right\rangle \right\rangle:a+b=c+d \right\}}\) . Sprawdź, czy ta relacja jest zwrotna, symetryczna, antysymetryczna, przechodnia, spójna. Jeżeli jest relacją równoważności to podaj jej klasy abstrakcji, jeśli jest relacją porządku to podaj elementy minimalne, maksymalne, najmniejsze, największe (o ile istnieją)."

Czy jesteś pewny, że zadanie brzmiało właśnie tak? Bo to sformułowanie jest niespecjalnie sensowne. W szczególności fragment "Dany jest zbiór punktów w \(\displaystyle{ \RR^{2}}\) leżących na prostej \(\displaystyle{ x=y}\)" nie ma żadnego związku z dalszą treścią zadania, bo podana dalej relacja nie jest zdefiniowana na tym zbiorze, tylko na \(\displaystyle{ \RR^2}\).

JK

tak, dokładnie tak było sformułowane

No to zadanie było źle sformułowane.

JK

Dziękuję za odpowiedź