Sprawdź, czy relacja jest...

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
megafon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 4 maja 2013, o 13:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Sprawdź, czy relacja jest...

Post autor: megafon » 4 maja 2013, o 13:29

Witam serdecznie,

Na niedawnym kolokwium z matematyki dyskretnej miałem zadanie które rozwiązałem błędnie, chcąc przygotować się do poprawy chciałbym prosić Państwa o pomoc i ewentualne wytłumaczenie

Treść zadania: "Dany jest zbiór punktów w \(\displaystyle{ \RR^{2}}\) leżących na prostej \(\displaystyle{ x=y}\) oraz relacja \(\displaystyle{ R}\): \(\displaystyle{ R^{2}\times R^{2}\supseteq R= \left\{\left\langle \left\langle a,b \right\rangle,\left\langle c,d \right\rangle \right\rangle:a+b=c+d \right\}}\) . Sprawdź, czy ta relacja jest zwrotna, symetryczna, antysymetryczna, przechodnia, spójna. Jeżeli jest relacją równoważności to podaj jej klasy abstrakcji, jeśli jest relacją porządku to podaj elementy minimalne, maksymalne, najmniejsze, największe (o ile istnieją)."

Rozwiązując zadanie napisałem, iż relacja jest zwrotna, symetryczna, antysymetryczna, przechodnia, spójna, ale musiało być to błędne rozwiązanie.

Dochodzę do wniosku że musiałem źle zrozumieć co jest relacją \(\displaystyle{ R}\) w tym zadaniu, przykładowo wykazując symetryczność zapisałem \(\displaystyle{ \bigwedge a,b,c,d \in \RR^{2} \left( a+b=c+d \right) \Rightarrow \left( c+d=a+b \right)}\).

Proszę o pomoc i pozdrawiam serdecznie,
Mateusz
Ostatnio zmieniony 4 maja 2013, o 22:34 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Poprawa wiadomości: \langle, \rangle, \bigwedge. Zbiór zapisujemy w nawiasach klamrowych.

miodzio1988

Sprawdź, czy relacja jest...

Post autor: miodzio1988 » 4 maja 2013, o 13:30

Zapis zupełnie do bani. Zapisz dwa elementy w relacji

megafon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 4 maja 2013, o 13:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Sprawdź, czy relacja jest...

Post autor: megafon » 4 maja 2013, o 13:39

Niestety, nie rozumiem w czym leży mój błąd...

czy chodzi o zapis \(\displaystyle{ \bigwedge \left\langle \left\langle a,b \right\rangle,\left\langle c,d \right\rangle \right\rangle \in \RR^{2} \times \RR^{2} \ \left( a+b=c+d \right) \Rightarrow \left( c+d=a+b \right)}\) ?
Ostatnio zmieniony 4 maja 2013, o 22:34 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: \langle, \rangle, \bigwedge.

miodzio1988

Sprawdź, czy relacja jest...

Post autor: miodzio1988 » 4 maja 2013, o 13:40

Dalej do bani, zapisz, że dwa elementy są w relacji, bez rozpisywania co to za relacja

megafon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 4 maja 2013, o 13:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Sprawdź, czy relacja jest...

Post autor: megafon » 4 maja 2013, o 13:44

\(\displaystyle{ \left\langle a,b \right\rangle R\left\langle c,d \right\rangle}\) . Mimo wszystko chyba mam problem ze zdefiniowaniem samej relacji...
Ostatnio zmieniony 4 maja 2013, o 22:35 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.

miodzio1988

Sprawdź, czy relacja jest...

Post autor: miodzio1988 » 4 maja 2013, o 13:50

No i ok, od tego trzeba zaczynać każdy zapis. Więc co z tego zapisu wynika?

megafon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 4 maja 2013, o 13:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Sprawdź, czy relacja jest...

Post autor: megafon » 4 maja 2013, o 13:58

Wynika, iż współrzędne punktu 1 są w relacji ze współrzędnymi punktu 2. Biorąc pod uwagę definicję relacji i to, że punkty leżą na prostej \(\displaystyle{ x=y}\) to można uznać, że \(\displaystyle{ b=a}\) oraz \(\displaystyle{ d=c}\). Wnioskuję, że relacja sprowadzi się wtedy do postaci \(\displaystyle{ \RR^{2} \times \RR^{2} \supseteq R= \left\{ \left\langle \left\langle a,a \right\rangle,\left\langle c,c \right\rangle \right\rangle:2a=2c \right\}}\), a ciągnąc to rozumowanie dalej wnioskuję, że punkty te muszą być w rzeczywistości jednym punktem. Biorąc pod uwagę jednak 0 punktów za rozwiązanie pewnie źle wnioskuję...
Ostatnio zmieniony 4 maja 2013, o 22:36 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: \langle, \rangle, \bigwedge. Zbiór zapisujemy w nawiasach klamrowych.

Awatar użytkownika
Msciwoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 229
Rejestracja: 18 lut 2012, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Londyn
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 36 razy

Sprawdź, czy relacja jest...

Post autor: Msciwoj » 4 maja 2013, o 15:20

Jeżeli oba punkty leżą na prostej \(\displaystyle{ x = y}\), to rzeczywiście relacja określona tylko dla tych punktów będzie antysymetryczna. Jednakże spójna nie jest. Dlaczego? Co z drugą częścią zadania?

megafon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 4 maja 2013, o 13:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Sprawdź, czy relacja jest...

Post autor: megafon » 4 maja 2013, o 16:27

Czy dobrze kombinuję myśląc, że skoro jest antysymetryczna to musi zachodzić na raz \(\displaystyle{ xRy \wedge yRx}\), a nie jest spójna bo w definicji spójności jest alternatywa?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 30391
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4864 razy

Sprawdź, czy relacja jest...

Post autor: Jan Kraszewski » 4 maja 2013, o 22:41

megafon pisze:Treść zadania: "Dany jest zbiór punktów w \(\displaystyle{ \RR^{2}}\) leżących na prostej \(\displaystyle{ x=y}\) oraz relacja \(\displaystyle{ R}\): \(\displaystyle{ R^{2}\times R^{2}\supseteq R= \left\{\left\langle \left\langle a,b \right\rangle,\left\langle c,d \right\rangle \right\rangle:a+b=c+d \right\}}\) . Sprawdź, czy ta relacja jest zwrotna, symetryczna, antysymetryczna, przechodnia, spójna. Jeżeli jest relacją równoważności to podaj jej klasy abstrakcji, jeśli jest relacją porządku to podaj elementy minimalne, maksymalne, najmniejsze, największe (o ile istnieją)."
Czy jesteś pewny, że zadanie brzmiało właśnie tak? Bo to sformułowanie jest niespecjalnie sensowne. W szczególności fragment "Dany jest zbiór punktów w \(\displaystyle{ \RR^{2}}\) leżących na prostej \(\displaystyle{ x=y}\)" nie ma żadnego związku z dalszą treścią zadania, bo podana dalej relacja nie jest zdefiniowana na tym zbiorze, tylko na \(\displaystyle{ \RR^2}\).

JK

megafon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 4 maja 2013, o 13:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Sprawdź, czy relacja jest...

Post autor: megafon » 4 maja 2013, o 22:49

tak, dokładnie tak było sformułowane

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 30391
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4864 razy

Sprawdź, czy relacja jest...

Post autor: Jan Kraszewski » 4 maja 2013, o 23:01

No to zadanie było źle sformułowane.

JK

megafon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 4 maja 2013, o 13:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Sprawdź, czy relacja jest...

Post autor: megafon » 5 maja 2013, o 10:32

Dziękuję za odpowiedź

ODPOWIEDZ