czy równości zbiorów zachodzą/wypisać elementy zbioru

[fryxjer]

1) Sprawdź, czy poniższe równości zachodzą, jeśli nie zachodzą podaj kontrprzykład.
i taki przykład:
\(\displaystyle{ B \cup (A \setminus B)=A}\)
jak to się robi z kontrprzykładem?

2) I jeszcze jedno zadanko:
Wypisz wszystkie elementy zbiorów lub dziesięć elementów, jeśli jest ich nieskończenie wiele:
\(\displaystyle{ \left\{(x,y,z) \in \left\{0,1,2\right\}\times\left\{0,1,2\right\}\times\left\{0,1,2\right\}:|x-y|=1 \wedge z=\max\left\{x,y\right\}\right\}}\)
\(\displaystyle{ \left\{(x _{1} ,x_{2}, x_{3}, x_{4}) \in ( -\infty,5)^{4}:|x_{1}-x_{3}| \le 2, |x_{2}+4|<3,|x_{4}-2|>10,x_{4}<x_{1}\right\}}\)

Poproszę o jakieś szczegółowe podpowiedzi odnośnie drugiego.
Pzdr

[Marcgal]

ad 1) Weźmy dowolny \(\displaystyle{ x\in B}\) taki, że \(\displaystyle{ x \not\in A}\). Wówczas \(\displaystyle{ x\in B \cup \left( A \setminus B\right)}\). Istnieje element należący do \(\displaystyle{ B \cup \left( A \setminus B\right)}\) i nie należący do \(\displaystyle{ A}\) - wniosek: \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B \cup \left( A \setminus B\right)}\) nie są równe.

[fryxjer]

To jest kontrprzykład rozumiem

Jeszcze jakby ktoś podpowiedział na temat drugiego zadania

[Jan Kraszewski]

ad 1) Weźmy dowolny \(\displaystyle{ x\in B}\) taki, że \(\displaystyle{ x \not\in A}\). Wówczas \(\displaystyle{ x\in B \cup \left( A \setminus B\right)}\). Istnieje element należący do \(\displaystyle{ B \cup \left( A \setminus B\right)}\) i nie należący do \(\displaystyle{ A}\) - wniosek: \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B \cup \left( A \setminus B\right)}\) nie są równe.

No niestety, to jest dobra obserwacja, ale to nie jest poprawnie podany kontrprzykład. Jeżeli chcemy kontrprzykład, to podajemy konkretne zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\).

JK

[fryxjer]

Okej, czyli np \(\displaystyle{ a=\left\{1\right\}}\) i \(\displaystyle{ B=\left\{2\right\}}\) ?

Mam jeszcze takie zadanko:
\(\displaystyle{ A=\left\{x \in \mathbb{N} : |x-4| \le 5 \right\}}\) , \(\displaystyle{ B=\left\{y \in \mathbb{Z} : 4 \le x^{2} + \left( y-2 \right) ^{2} \le 26 \right\},C=\left\{ (a,b) \in \left\{ -2,-1,1,3 \right\} \times \left\{ -2,-1,1 \right\} : a^{2} = b^{2} \right\}}\)
Oblicz liczbę elementów zbioru \(\displaystyle{ A \times B \times C}\)

[Jan Kraszewski]

Okej, czyli np \(\displaystyle{ a=\left\{1\right\}}\) i \(\displaystyle{ B=\left\{2\right\}}\) ?

Tak.

Wypisz wszystkie elementy zbiorów lub dziesięć elementów, jeśli jest ich nieskończenie wiele:
\(\displaystyle{ \left\{(x,y,z) \in \left\{0,1,2\right\}\times\left\{0,1,2\right\}\times\left\{0,1,2\right\}:|x-y|=1 \wedge z=\max\left\{x,y\right\}\right\}}\)

Wystarczy przeczytać ze zrozumieniem definicję. Warunek \(\displaystyle{ |x-y|=1}\) mówi, że \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) różnią się o \(\displaystyle{ 1}\), masz więc cztery takie pary: \(\displaystyle{ (0,1), (1,2), (1,0), (2,1)}\). Drugi warunek jednoznacznie wyznacza \(\displaystyle{ z}\), masz zatem cztery trójki: \(\displaystyle{ (0,1,1), (1,2,2), (1,0,1), (2,1,2)}\).

\(\displaystyle{ \left\{(x _{1} ,x_{2}, x_{3}, x_{4}) \in ( -\infty,5)^{4}:|x_{1}-x_{3}| \le 2, |x_{2}+4|<3,|x_{4}-2|>10,x_{4}<x_{1}\right\}}\)

Pokombinuj podobnie.

\(\displaystyle{ A=\left\{x \in \mathbb{N} : |x-4| \le 5 \right\}}\) , \(\displaystyle{ B=\left\{y \in \mathbb{Z} : 4 \le x^{2} + \left( y-2 \right) ^{2} \le 26 \right\},C=\left\{ (a,b) \in \left\{ -2,-1,1,3 \right\} \times \left\{ -2,-1,1 \right\} : a^{2} = b^{2} \right\}}\)
Oblicz liczbę elementów zbioru \(\displaystyle{ A \times B \times C}\)

Zacznij od wyznaczenia zbiorów \(\displaystyle{ A, B, C}\). Przedtem popraw niepoprawną definicję zbioru \(\displaystyle{ B}\).

JK