Klasa abstrakcji

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
bajserek1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 18 wrz 2012, o 23:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 17 razy

Klasa abstrakcji

Post autor: bajserek1 » 23 wrz 2012, o 21:01

Bardzo proszę o takie "łopatologiczne" wytłumaczenie czym jest klasa abstrakcji. Nie potrafię tego zrozumieć. Tzn stwierdzenie:
W zbiorze wszystkich samolotów wprowadzamy relację: dwa samoloty są równoważne, gdy mogą przenieść tę samą liczbę pasażerów. Jest to relacja równoważności — klasą abstrakcji danego samolotu zabierającego na pokład 50 osób jest zbiór wszystkich samolotów mogących przewieźć 50 osób.
rozumiem, jednak kiedy pojawia się przykład, jak chociażby:
a) \(\displaystyle{ \Re=\left\{ (x,y)|x \in \mathbb{Z} \wedge y \in \mathbb{Z} \wedge |y|=|x|\right\}}\)
b) \(\displaystyle{ \Re=\{ (x,y)|x \in X \wedge y \in X \wedge y\text{ leży w tym samym województwie co }x \}}\), gdzie \(\displaystyle{ X}\) to zbiór miast w Polsce
Nie mam pojęcia jak wyznaczyć klasę abstrakcji, a co dopiero zapisać.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Klasa abstrakcji

Post autor: norwimaj » 23 wrz 2012, o 21:10

Potrafisz znaleźć zbiór tych wszystkich \(\displaystyle{ y\in\mathbb{Z}}\), dla których \(\displaystyle{ |y|=|-5|}\)?

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18713
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3713 razy

Klasa abstrakcji

Post autor: szw1710 » 23 wrz 2012, o 21:10

Samoloty - jest dokładnie jak napisałeś. Klasa abstrakcji wyznaczona przez element jest zbiorem wszystkich elementów pozostających z nim w relacji. A więc np. jeśli zepsuje się samolot A, można wziąć z hangaru mieszczącego jego klasę abstrakcji dowolny inny samolot nie patrząc na szczegóły - pozostaje on z A w relacji, więc przewiecie 50 osób.

a) Spróbuj powiedzieć, jakie są klasy abstrakcji wyznaczone przez \(\displaystyle{ x=1}\) oraz \(\displaystyle{ x=-2}\) Powinno Ci to nasunąć pomysł, jak wyglądają wszystkie klasy abstrakcji w tej relacji.

b) Jaka jest klasa abstrakcji Szczecina? Odwołaj się do definicji, którą przypomniałem.

bajserek1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 18 wrz 2012, o 23:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 17 razy

Klasa abstrakcji

Post autor: bajserek1 » 23 wrz 2012, o 22:09

norwimaj pisze:Potrafisz znaleźć zbiór tych wszystkich \(\displaystyle{ y\in\mathbb{Z}}\), dla których \(\displaystyle{ |y|=|-5|}\)?
Tak, \(\displaystyle{ y \in \left\{ -5,5\right\}}\)
nie rozumiem w czym to mi może pomóc.
szw1710 pisze:a) Spróbuj powiedzieć, jakie są klasy abstrakcji wyznaczone przez x=1 oraz x=-2 Powinno Ci to nasunąć pomysł, jak wyglądają wszystkie klasy abstrakcji w tej relacji.
\(\displaystyle{ [-2] _{\varrho} = \left\{ -2, 2\right\}}\)
\(\displaystyle{ [1] _{\varrho} = \left\{ -1, 1\right\}}\)
tak?
szw1710 pisze:b) Jaka jest klasa abstrakcji Szczecina? Odwołaj się do definicji, którą przypomniałem.
\(\displaystyle{ [\text{Szczecin}] _{\varrho} = \{\text{wszystkie miasta w zachodniopomorskim}\}}\)
?

norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Klasa abstrakcji

Post autor: norwimaj » 23 wrz 2012, o 22:34

bajserek1 pisze: Tak, \(\displaystyle{ y \in \left\{ -5,5\right\}}\)
Czyli \(\displaystyle{ [-5]=\{-5,5\}}\)
bajserek1 pisze: \(\displaystyle{ [-2] _{\varrho} = \left\{ -2, 2\right\}}\)
\(\displaystyle{ [1] _{\varrho} = \left\{ -1, 1\right\}}\)
tak?
Tak. To już chyba widzisz, jak wyglądają klasy abstrakcji dla tej relacji?

bajserek1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 18 wrz 2012, o 23:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 17 razy

Klasa abstrakcji

Post autor: bajserek1 » 23 wrz 2012, o 22:42

Czyli ta relacja ma nieskończenie wiele klas relacji, które można opisać:
\(\displaystyle{ [x] _{\varrho} = \left\{ -x, x\right\}}\) ?

-- 23 wrz 2012, o 22:50 --

No dobrze, ale w tych zadaniach można to było zaobserwować na pierwszy rzut oka. Co zrobić jeśli tak nie jest. Tzn jakie działania trzeba wykonać, żeby określić klasę abstrakcji dla:

\(\displaystyle{ X=\left\{ 1, 2, ..., 16\right\}}\)
\(\displaystyle{ \Re=\left\{ (x,y)|x \in X \wedge y \in X \wedge 4|(x ^{2}-y ^{2}) \right\}}\)

Domyślam się, że będą tutaj cztery klasy abstrakcji?-- 23 wrz 2012, o 23:49 --Żeby to obliczyć muszę najpierw wyznaczyć\(\displaystyle{ X ^{2}}\) więc:
\(\displaystyle{ X ^{2} =\left\{ (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)...(1,12)(2,1)...(2,12)...(12,1)...(12,12)\right\}}\)
następnie wybrać z tego zbioru podzbiór spełniający zadaną relację, czyli:
Re = {(1,1),(1,3),(1,5),(1,7),(1,9),(1,11),(1,13),(1,15),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(2,10),(2,12),(2,14),(2,16),(3,3),(3,5),(3,7),(3,9),(3,11),(3,13),(3,15),(4,4),(4,6),(4,8),(4,10),(4,12),(4,14),(4,16),(5,5),(5,7),(5,9),(5,11),(5,13),(5,15),(6,6),(6,8),(6,10),(6,12),(6,14),(6,16),(7,7),(7,9),(7,11),(7,13),(7,15),(8,8),(8,10),(8,12),(8,14),(8,16),(9,9),(9,11),(9,13),(9,15),(10,10),(10,12),(10,14),(10,16),(11,11),(11,13),(11,15),(12,12),(12,14),(12,16),(13,13),(13,15),(14,14),(14,16),(15,15),(16,16)}
(Panie Moderatorze - niestety kiedy zamieszczałem to wyrażenie w znacznikach "tex" otrzymywałem "błąd w formule" i nie chciało się wyświetlić. Jako że błędu nie znalazłem znaczniki pominąłem)

teraz mogę stwierdzić, że jest 16 klas abstrakcji:
\(\displaystyle{ \left[ 1\right]= \left\{ 1, 2, ..., 16\right\}}\)
\(\displaystyle{ \left[ 2\right]= \left\{ 2k\right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in \left\langle 2, 8\right\rangle}\)
\(\displaystyle{ \left[ 3\right]= \left\{ 2k-1\right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in \left\langle 3, 8\right\rangle}\)
\(\displaystyle{ \left[ 4\right]= \left\{ 2k\right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in \left\langle 3, 8\right\rangle}\)
\(\displaystyle{ \left[ 5\right]= \left\{ 2k-1\right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in \left\langle 4, 8\right\rangle}\)
\(\displaystyle{ \left[ 6\right]= \left\{ 2k\right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in \left\langle 4, 8\right\rangle}\)
\(\displaystyle{ \left[ 7\right]= \left\{ 2k-1\right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in \left\langle 5, 8\right\rangle}\)
\(\displaystyle{ \left[ 8\right]= \left\{ 2k\right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in \left\langle 5, 8\right\rangle}\)
\(\displaystyle{ \left[ 9\right]= \left\{ 2k-1\right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in \left\langle 6, 8\right\rangle}\)
\(\displaystyle{ \left[ 10\right]= \left\{ 2k\right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in \left\langle 6, 8\right\rangle}\)
\(\displaystyle{ \left[ 11\right]= \left\{ 2k-1\right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in \left\langle 7, 8\right\rangle}\)
\(\displaystyle{ \left[ 12\right]= \left\{ 2k\right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in \left\langle 7, 8\right\rangle}\)
\(\displaystyle{ \left[ 13\right]= \left\{ 15\right\}}\)
\(\displaystyle{ \left[ 14\right]= \left\{ 16\right\}}\)
\(\displaystyle{ \left[ 15\right]= \left\{ 15\right\}}\)
\(\displaystyle{ \left[ 16\right]= \left\{ 16\right\}}\)

Dobrze? Jeśli tak - jak można zrobić to prościej?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26180
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4374 razy

Klasa abstrakcji

Post autor: Jan Kraszewski » 23 wrz 2012, o 23:53

bajserek1 pisze:No dobrze, ale w tych zadaniach można to było zaobserwować na pierwszy rzut oka. Co zrobić jeśli tak nie jest.
Zrozumieć, o co w tym wszystkim chodzi. Relacja równoważności na zbiorze \(\displaystyle{ X}\) zadaje podział tego zbioru ("pocięcie na kawałki"). Te kawałki to właśnie klasy abstrakcji. By je wyznaczyć trzeba zrozumieć, jak działa dana relacja równoważności, według jakiej cechy grupuje elementy zbioru \(\displaystyle{ X}\). Potem zastanawiamy się, jakie wartości może ta cecha mieć - każda wartość wyznacza jedną klasę abstrakcji. Na końcu pozostaje opisanie klas.
bajserek1 pisze:Tzn jakie działania trzeba wykonać, żeby określić klasę abstrakcji dla:

\(\displaystyle{ X=\left\{ 1, 2, ..., 16\right\}}\)
\(\displaystyle{ \Re=\left\{ (x,y)|x \in X \wedge y \in X \wedge 4|(x ^{2}-y ^{2}) \right\}}\)

Domyślam się, że będą tutaj cztery klasy abstrakcji?
Nie.

Robimy tak:
1. Analizujemy, według jakiej cechy relacja \(\displaystyle{ \Re }\) grupuje elementy zbioru \(\displaystyle{ X}\) - łączy ze sobą te elementy, których kwadraty dają tę samą resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ 4}\).
2. Zastanawiamy się, jakie wartości może ta cecha mieć - okazuje się, że kwadrat liczby całkowitej może dawać tylko dwie reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ 4}\), mianowicie \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\).
3. Mamy zatem dwie klasy abstrakcji. W jednej są te elementy zbioru \(\displaystyle{ X}\), których kwadraty dzielą się przez \(\displaystyle{ 4}\) (daję resztę \(\displaystyle{ 0}\)): \(\displaystyle{ \{2,4,6,8,10,12,14,16\}}\), w drugiej te, których kwadraty dają resztę \(\displaystyle{ 1}\) w dzieleniu przez \(\displaystyle{ 4}\): \(\displaystyle{ \{1,3,5,7,9,11,13,15\}}\).

JK

bajserek1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 18 wrz 2012, o 23:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 17 razy

Klasa abstrakcji

Post autor: bajserek1 » 24 wrz 2012, o 00:45

Odnoszę wrażenie, że wreszcie to pojąłem.
Jeszcze dwa przykłady, aby upewnić się, czy dobrze zrozumiałem:
\(\displaystyle{ X -}\) zbiór funkcji kwadratowych
\(\displaystyle{ R=\{ (x,y)|x \in X \wedge y \in X \wedge y\text{ ma tyle samo miejsc zerowych co }x \}}\)
Jan Kraszewski pisze:1. Analizujemy, według jakiej cechy relacja Re a grupuje elementy zbioru X
Łączy ze sobą elementy, które mają tę samą liczbę miejsc zerowych.
Jan Kraszewski pisze:2. Zastanawiamy się, jakie wartości może ta cecha mieć
Funkcja kwadratowa może nie mieć miejsc zerowych, mieć jedno lub dwa.

Mamy zatem trzy klasy abstrakcji:
\(\displaystyle{ \left[ 0\right] = \left\{ \Delta < 0\right\}}\)
\(\displaystyle{ \left[ 1\right] = \left\{ \Delta = 0\right\}}\)
\(\displaystyle{ \left[ 2\right] = \left\{ \Delta > 0\right\}}\)



\(\displaystyle{ \Re\left\{ (x,y)|x \in \mathbb{N} \wedge y \in \mathbb{N} \wedge |x-y| \le 4\right\}}\)

Tworzy dwa zbiory... no i właśnie, czyżby ta relacja była symetryczna i zwrotna, ale nie przechodnia więc nie jest relacją równoważności?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26180
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4374 razy

Klasa abstrakcji

Post autor: Jan Kraszewski » 24 wrz 2012, o 01:10

bajserek1 pisze:\(\displaystyle{ X -}\) zbiór funkcji kwadratowych
\(\displaystyle{ R=\{ (x,y)|x \in X \wedge y \in X \wedge y\text{ ma tyle samo miejsc zerowych co }x \}}\)
Jan Kraszewski pisze:1. Analizujemy, według jakiej cechy relacja \(\displaystyle{ R}\) grupuje elementy zbioru \(\displaystyle{ X}\)
Łączy ze sobą elementy, które mają tę samą liczbę miejsc zerowych.
Jan Kraszewski pisze:2. Zastanawiamy się, jakie wartości może ta cecha mieć
Funkcja kwadratowa może nie mieć miejsc zerowych, mieć jedno lub dwa.

Mamy zatem trzy klasy abstrakcji:
\(\displaystyle{ \left[ 0\right] = \left\{ \Delta < 0\right\}}\)
\(\displaystyle{ \left[ 1\right] = \left\{ \Delta = 0\right\}}\)
\(\displaystyle{ \left[ 2\right] = \left\{ \Delta > 0\right\}}\)
Zrozumienie i analiza - OK, zapis formalny klas abstrakcji - do niczego. Rozumiem, co chciałeś przez to wyrazić, ale tak jednak nie można (zauważ choćby, że jeśli chcesz używać zapisu klasy abstrakcji z reprezentantem - co nie jest niezbędne, - to ów reprezentant musi być elementem zbioru \(\displaystyle{ X}\), w tym wypadku - funkcją kwadratową). Inna sprawa, że ściśle formalny zapis jest w tym przypadku niezbyt wygodny, dlatego można spróbować tak:

\(\displaystyle{ \{f\in X: f\mbox{ ma dwa miejsca zerowe}\},\\ \{f\in X: f\mbox{ ma jedno miejsca zerowe}\},\\ \{f\in X: f\mbox{ nie ma miejsc zerowych}\}}\)

Albo bardziej formalnie:

\(\displaystyle{ \{f\in X:(\exists a,b\in\RR)a\neq b\land f(a)=f(b)=0\},\\ \{f\in X:(\exists a\in\RR)(f(a)=0\land (\forall b\in\RR)b\neq a \Rightarrow f(b)\neq 0)\},\\ \{f\in X:(\forall a\in\RR) f(a)\neq 0\}}\)
bajserek1 pisze:\(\displaystyle{ \Re=\left\{ (x,y)|x \in \mathbb{N} \wedge y \in \mathbb{N} \wedge |x-y| \le 4\right\}}\)

Tworzy dwa zbiory... no i właśnie, czyżby ta relacja była symetryczna i zwrotna, ale nie przechodnia więc nie jest relacją równoważności?
Nie jest, zatem mówienie o klasach abstrakcji nie ma sensu.

JK

bajserek1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 18 wrz 2012, o 23:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 17 razy

Klasa abstrakcji

Post autor: bajserek1 » 24 wrz 2012, o 01:15

Dziękuję Panie Janie, jest Pan niesamowitym dydaktykiem!

kitiko
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 78
Rejestracja: 20 lut 2014, o 19:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Klasa abstrakcji

Post autor: kitiko » 16 sty 2015, o 17:27

Jan Kraszewski pisze: 1. Analizujemy, według jakiej cechy relacja \(\displaystyle{ \Re \a}\) grupuje elementy zbioru \(\displaystyle{ X}\) - łączy ze sobą te elementy, których kwadraty dają tę samą resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ 4}\).
2. Zastanawiamy się, jakie wartości może ta cecha mieć - okazuje się, że kwadrat liczby całkowitej może dawać tylko dwie reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ 4}\), mianowicie \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\).
3. Mamy zatem dwie klasy abstrakcji. W jednej są te elementy zbioru \(\displaystyle{ X}\), których kwadraty dzielą się przez \(\displaystyle{ 4}\) (daję resztę \(\displaystyle{ 0}\)): \(\displaystyle{ \{2,4,6,8,10,12,14,16\}}\), w drugiej te, których kwadraty dają resztę \(\displaystyle{ 1}\) w dzieleniu przez \(\displaystyle{ 4}\): \(\displaystyle{ \{1,3,5,7,9,11,13,15\}}\).
JK
Jest jakiś profesjonalny sposób zapisania tego? Coś w stylu:

\(\displaystyle{ \left[ x\right] _{e}=\left\{ \left\{ 2,4,6,8,10,12,14,16\right\},\left\{1,3,5,7,9,11,13,15\right\} \right\}}\)

Czy można po prostu:

klasy abstrakcji: \(\displaystyle{ \{2,4,6,8,10,12,14,16\}, \{1,3,5,7,9,11,13,15\}}\)

Albo:

klasy abstrakcji: \(\displaystyle{ \left\{ 2k: k \in \left\{ 1,2,...,8\right\} \right\}, \left\{ 2k-1: k \in \left\{ 1,2,...,8\right\} \right\}}\)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26180
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4374 razy

Klasa abstrakcji

Post autor: Jan Kraszewski » 16 sty 2015, o 17:58

kitiko pisze:Jest jakiś profesjonalny sposób zapisania tego?
Jest. Zależy jednak, jak brzmi polecenie: czy "opisz klasy abstrakcji" czy "opisz zbiór ilorazowy".
kitiko pisze:Coś w stylu:

\(\displaystyle{ \left[ x\right] _{e}=\left\{ \left\{ 2,4,6,8,10,12,14,16\right\},\left\{1,3,5,7,9,11,13,15\right\} \right\}}\)
To nie jest dobrze, bo co to jest \(\displaystyle{ \left[ x\right] _{e}}\)? To, co masz po prawej stronie, to zbiór ilorazowy, więc gdyby polecenie brzmiało "opisz zbiór ilorazowy", to poprawna byłaby odpowiedź

\(\displaystyle{ X/_{\Re}=\left\{ \left\{ 2,4,6,8,10,12,14,16\right\},\left\{1,3,5,7,9,11,13,15\right\} \right\}}\)
kitiko pisze:Czy można po prostu:

klasy abstrakcji: \(\displaystyle{ \{2,4,6,8,10,12,14,16\}, \{1,3,5,7,9,11,13,15\}}\)

Albo:

klasy abstrakcji: \(\displaystyle{ \left\{ 2k: k \in \left\{ 1,2,...,8\right\} \right\}, \left\{ 2k-1: k \in \left\{ 1,2,...,8\right\} \right\}}\)
To są dwie poprawne odpowiedzi na polecenie "opisz klasy abstrakcji".

JK

ODPOWIEDZ