element minimalny a najmniejszy

[czeper]

Czy mógłby mi ktoś wyjaśnić, najprosciej jak się da, czym się różnią te elementy?

[Jan Kraszewski]

Element najmniejszy mówi: "Wszyscy nade mną!".

Element minimalny mówi: "Nikogo pode mną!".

El. najmniejszy zawsze jest minimalny - skoro wszyscy są nade mną, to oczywiście nie ma nikogo pode mną.

Problem polega na tym, że w porządku liniowym (a takie zna się ze szkoły) pojęcia te są tożsame - skoro nie ma nikogo pode mną, to wszyscy są nade mną. W ogólności nie musi tak być: to, że nie ma nikogo pode mną nie oznacza, że wszyscy są nade mną - mogą też być obok.

JK

[czeper]

Tzn że w przypadku elementu najmniejszego faktycznie jest on najmniejszym, tzn nie mniejszech ani równych, a w przypadku minimalnego nie ma mniejszych, ale mogą byc równe. Czy tak? Wychodziło by na to że element najmniejszy może być tylko jeden, a minimalnych może byc kilka. Jednak gdzieś na prezentacji widziałem że tych i tych elementów może być kilka, a element najmniejszy nie zawsze jest minimalny. Trochę się pogubiłem.

[adner]

Element najmniejszy, jeżeli istnieje, jest wyznaczony jednoznacznie. Można to udowodnić z jego definicji(załóżmy, że istnieją dwa - wtedy z definicji pierwszego drugi musi być od niego większy a z definicji drugiego pierwszy musi być od niego większy - sprzeczność na podstawie antysymetrii relacji porządku).