Obraz i przeciwobraz zbioru

[irracjonalistka]

Wiem, że takie zadania pojawiały się już wiele razy, ale niestety nie jestem w stanie znaleźć takiego które wyjaśni mi jak krok po kroku obliczyć obraz i przeciwobraz. Bardzo proszę o pomoc

Wyznaczyć obraz zbioru \(\displaystyle{ A}\) i przeciwobraz zbioru \(\displaystyle{ B}\) poprzez relację \(\displaystyle{ S \subset R ^{2}}\)

\(\displaystyle{ xSy \Leftrightarrow y=\sin x \\
A=\left[ - \frac{ \pi }{3} ; \frac{4 \pi }{3}\right] \\
B=\left(-\infty,- \frac{ \sqrt{2} }{2} \right) \cup \left( \frac{ \sqrt{2} }{2} , \infty\right)}\)

Bardzo proszę w miarę możliwości o rozpisanie krok po kroku jak mam postępować.

Z góry bardzo dziękuję!

[Jan Kraszewski]

W tym przypadku chodzi o obraz i przeciwobraz przez funkcję (bo ta relacja jest funkcją). Znasz definicje?

JK

[irracjonalistka]

Tak,
\(\displaystyle{ S\left( A\right) =\left\{ y \in Y \exists x \in A : xSy\right\}}\)
\(\displaystyle{ S ^{-1} \left( B\right) =\left\{ x \in X \exists y \in B : xSy\right\}}\)

[Jan Kraszewski]

Umiarkowanie przydatne w tym przypadku (i niepoprawnie zapisane, powinno być \(\displaystyle{ S\left( A\right) =\left\{ y \in Y :\exists x \in A \ xSy\right\}}\) i \(\displaystyle{ S ^{-1} \left( B\right) =\left\{ x \in X: \exists y \in B\ xSy\right\}}\)). Tu wygodniejsze byłyby definicje obrazu i przeciwobrazu przez funkcję.

Ale akurat w tym przypadku wszystko można odczytać z wykresu funkcji sinus. Patrzysz, jakie wartości przyjmuje funkcja sinus na zbiorze \(\displaystyle{ A}\) oraz dla jakich argumentów funkcja sinus przyjmuje wartości ze zbioru \(\displaystyle{ B}\).

JK

[irracjonalistka]

Wiem, ale właśnie chodzi mi o to żeby dowiedzieć się jak obliczać obraz i przeciwobraz algebraicznie, a podałam ten przykład ponieważ wydawał mi się w miarę nieskomplikowany. Czy mógłby Pan rozwiązać to właśnie algebraicznie?

[Jan Kraszewski]

Do rozwiązania algebraicznego Twoje definicje są niezbyt przydatne. Tu przydałyby się definicje dla funkcji, a nie dla relacji.

JK

[irracjonalistka]

W takim razie czy mogłby Pan mi pomóc?

[zaq1]

tu chyba trzeba z tego skorzystać..

Obrazem zbioru \(\displaystyle{ A}\) przez funkcje\(\displaystyle{ f}\) nazywamy zbiór wszystkich wartosci \(\displaystyle{ f(x)}\) dla
\(\displaystyle{ x \in A}\), tj.

\(\displaystyle{ f(A) = \{y \in Y : y = f(x) ^ x \in A\}.}\)


Przeciwobrazem zbioru \(\displaystyle{ B}\) przez funkcje \(\displaystyle{ f}\)nazywamy zbiór wszystkich wartosci \(\displaystyle{ x}\)
takich, ze \(\displaystyle{ f(x) \in B}\), tj.
\(\displaystyle{ f−1(B) = \{x \in X : y = f(x) ^ y \in B\}.}\)

Niech \(\displaystyle{ A, B}\) beda podzbiorami przeciwdziedziny funkcji \(\displaystyle{ f : X \rightarrow Y .}\)

[irracjonalistka]

A czy ktoś wie co dalej?

[Jan Kraszewski]

Obrazem zbioru \(\displaystyle{ A}\) przez funkcje\(\displaystyle{ f}\) nazywamy zbiór wszystkich wartosci \(\displaystyle{ f(x)}\) dla
\(\displaystyle{ x \in A}\), tj.

\(\displaystyle{ f(A) = \{y \in Y : y = f(x) ^ x \in A\}.}\)

Ten zapis nie ma sensu. Poczytaj instrukcję \(\displaystyle{ \LaTeX}\)a.

Powinno być

\(\displaystyle{ f[A]=\{f(x):x\in A\}}\).

Przeciwobrazem zbioru \(\displaystyle{ B}\) przez funkcje \(\displaystyle{ f}\)nazywamy zbiór wszystkich wartosci \(\displaystyle{ x}\)
takich, ze \(\displaystyle{ f(x) \in B}\), tj.
\(\displaystyle{ f−1(B) = \{x \in X : y = f(x) ^ y \in B\}.}\)

Jak wyżej. Powinno być

\(\displaystyle{ f^{-1}=\{x\in X:f(x)\in B\}}\)

Niech \(\displaystyle{ A, B}\) beda podzbiorami przeciwdziedziny funkcji \(\displaystyle{ f : X \rightarrow Y .}\)

A to już jest nieprawda. Powinno być \(\displaystyle{ A \subseteq X, B \subseteq Y}\).

Teraz powinnaś zastosować te definicje w Twojej sytuacji.

JK

[irracjonalistka]

Czy jest w ogóle taka możliwość, że rozwiążę Pan to zadanie? Niestety same definicje nic mi nie dają, a już tyle kombinowałam, że chciałabym zobaczyć jak zrobic to prawidłowo krok po kroku.

[Jan Kraszewski]

To pokaż, jak kombinujesz. Masz powyżej definicje. Wstaw do nich swoją funkcję i swoje zbiory i zobacz/pokaż, co dostajesz.

JK

[irracjonalistka]

\(\displaystyle{ f\left( \left[-\frac{\pi }{3}, \frac{4 \pi }{3} \right] \right) =\left\{ \sin x: x \in \left[-\frac{\pi }{3}, \frac{4 \pi }{3} \right] \right\} \\
- \frac{ \pi }{3} <x< \frac{4 \pi }{3} \\
\sin - \frac{ \pi }{3}<\sin x<\sin\frac{4 \pi }{3} \\
-\frac{ \sqrt{3} }{3}<\sin x<-\frac{ \sqrt{3} }{3} \\
\sin x \in \mathbb R \setminus \left\{ - \frac{ \sqrt{3} }{3} \right\}}\)

[Jan Kraszewski]

Pierwsze dwie linijki - OK.

Ale skąd wzięłaś przejście z drugiej linijki do trzeciej? Czy sinus jest na tym przedziale monotoniczny?

JK

[irracjonalistka]

Po prostu gdzieś to widziałam.. Tak jak mówię, nie wiem jak rozwiązać to zadanie. Jest przedziałami monotoniczny.