Matematyka.pl

Treść zadania:

Niech \(\displaystyle{ A_{n}=(0,1+1/n), n \in \mathbb{N}}\), będzie rodziną przedziałów osi rzeczywistej. Proszę wyznaczyć:
a) \(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n}}\)

b) \(\displaystyle{ \bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n{}\)

Nie mam pojęcia jak się za to zabrać i od czego zacząć. Nie udało mi się też znaleźć żadnego przykładowego zadania, na którym mógłbym się wzorować przy rozwiązaniu. Proszę o pomoc

Zauważ, że \(\displaystyle{ A_n \subseteq ... \subseteq A_3 \subseteq A_2 \subseteq A_1}\), nie pamiętam jak się robiło w LateX'u odwrócony znak, bo teraz to nieładnie wygląda. Ale teraz bardzo łatwo możesz sobie poradzić z sumą tych zbiorów. Pozdrawiam!

Niestety nie wiem co dalej Ani z czego skorzystać...

A definicje podanych operacji znasz?
Rozpisz sobie kilka pierwszych wyrazów i postaraj się zauważyć pewne prawidłowości.


Pozdrawiam.

Więc tak, te definicje, które mogłyby moim zdaniem się przydać w tym zadaniu to chyba jedynie:

\(\displaystyle{ x \in \bigcup_{t \in T} At \Leftrightarrow \exists_{t \in T} (x \in A_{t})}\)

Nie mogę z kolei znaleźć definicji \(\displaystyle{ \subseteq}\)

Definicja \(\displaystyle{ \subset}\) to \(\displaystyle{ A \subset B \Leftrightarrow \forall x : x \in A \Rightarrow x \in B}\)

Dalej nie wiem jak to "tknąć".

Nie mogę z kolei znaleźć definicji \(\displaystyle{ \subseteq}\)

To jest na ogół to samo co \(\displaystyle{ \subset}\). Post kolegi powyżej to była podpowiedź, która w sumie miała zostac potraktowana intuicyjnie.

Można sobie rozpisać:
\(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n}=A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup ...}\)

Niestety kompletnie nic mi nie świta:(

Napisz kilka pierwszych wyrazów.

Ok, teraz napisz ile wynosi ich suma oraz przekrój.

\(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} = (0,2) \cup (0, \frac{3}{2}) \cup (0, \frac{4}{3}) \cup (0, \frac{5}{4}) \cup ... \cup (0, 1+1/n)}\)

O to chodzi?

Nie. To jest suma nieskończona, a nie skończona. Masz wyznaczyć jaki zbiór dostaniemy w sumie. Może narysuj sobie te zbiory na osi. Jaki zbiór dostaniesz w sumie?

JK

\(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} = (0,2)}\)

O ile sumę łatwo dostrzec na osi po naniesieniu tych przedziałów na oś, tak mam problem z iloczynem. Im większy zakres to zbiór wyjściowy się zmniejsza. Może macie jakieś wskazówki?

petro pisze:Treść zadania:

Niech \(\displaystyle{ A_{n}=(0,1+1/n), n \in \mathbb{N}}\), będzie rodziną przedziałów osi rzeczywistej. Proszę wyznaczyć:
a) \(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n}}\)

b) \(\displaystyle{ \bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n{}\)

Nie mam pojęcia jak się za to zabrać i od czego zacząć. Nie udało mi się też znaleźć żadnego przykładowego zadania, na którym mógłbym się wzorować przy rozwiązaniu. Proszę o pomoc

Dobrze ci tutaj mowili, że jesli każdy następny zbiór zawarty jest w poprzednim, to suma ich jest równa temu pierwszemu , czyli przedziałowi (0,2)

Co do częsci wspólnej możesz spróbować tak:
-pokaż że przedział (0,1] zawiera się w każdym z tych zbiorów a więc i w ich częsci wspólnej,a potem pokaż że jeśli x nie należy do (0,1] to znajdzie się zbiór , do którego x nie nalezy, więc nie należy też do części wspólnej.

Tutaj nic chyba nie muszę pokazywać, wystarczy gdy wyznaczę te zbiory.

Teraz mam dane \(\displaystyle{ A_{n}=(-1/n, 1+1/n), n \in N}\)

Z sumą nie mam już problemu i wynosi: \(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} = (-1, 2)}\)
Ale co z iloczynem? \(\displaystyle{ \bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n} = (???,1>}\) Nie wiem jak dojść do tego co powinno być w miejscu pytajników.