Wyznaczyć zbiory

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
petro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 293
Rejestracja: 15 lut 2005, o 22:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: sam nie wiem
Podziękował: 56 razy

Wyznaczyć zbiory

Post autor: petro » 7 mar 2011, o 15:33

Treść zadania:
Niech \(\displaystyle{ A_{n}=(0,1+1/n), n \in \mathbb{N}}\), będzie rodziną przedziałów osi rzeczywistej. Proszę wyznaczyć:
a) \(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n}}\)

b) \(\displaystyle{ \bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n{}\)
Nie mam pojęcia jak się za to zabrać i od czego zacząć. Nie udało mi się też znaleźć żadnego przykładowego zadania, na którym mógłbym się wzorować przy rozwiązaniu. Proszę o pomoc

mateuszek89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1106
Rejestracja: 1 lip 2010, o 15:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: toruń
Pomógł: 153 razy

Wyznaczyć zbiory

Post autor: mateuszek89 » 7 mar 2011, o 15:42

Zauważ, że \(\displaystyle{ A_n \subseteq ... \subseteq A_3 \subseteq A_2 \subseteq A_1}\), nie pamiętam jak się robiło w LateX'u odwrócony znak, bo teraz to nieładnie wygląda. Ale teraz bardzo łatwo możesz sobie poradzić z sumą tych zbiorów. Pozdrawiam!

petro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 293
Rejestracja: 15 lut 2005, o 22:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: sam nie wiem
Podziękował: 56 razy

Wyznaczyć zbiory

Post autor: petro » 7 mar 2011, o 15:45

Niestety nie wiem co dalej Ani z czego skorzystać...

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Wyznaczyć zbiory

Post autor: miki999 » 7 mar 2011, o 17:14

A definicje podanych operacji znasz?
Rozpisz sobie kilka pierwszych wyrazów i postaraj się zauważyć pewne prawidłowości.


Pozdrawiam.

petro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 293
Rejestracja: 15 lut 2005, o 22:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: sam nie wiem
Podziękował: 56 razy

Wyznaczyć zbiory

Post autor: petro » 7 mar 2011, o 17:36

Więc tak, te definicje, które mogłyby moim zdaniem się przydać w tym zadaniu to chyba jedynie:

\(\displaystyle{ x \in \bigcup_{t \in T} At \Leftrightarrow \exists_{t \in T} (x \in A_{t})}\)

Nie mogę z kolei znaleźć definicji \(\displaystyle{ \subseteq}\)

Definicja \(\displaystyle{ \subset}\) to \(\displaystyle{ A \subset B \Leftrightarrow \forall x : x \in A \Rightarrow x \in B}\)

Dalej nie wiem jak to "tknąć".

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Wyznaczyć zbiory

Post autor: miki999 » 7 mar 2011, o 17:57

Nie mogę z kolei znaleźć definicji \(\displaystyle{ \subseteq}\)
To jest na ogół to samo co \(\displaystyle{ \subset}\). Post kolegi powyżej to była podpowiedź, która w sumie miała zostac potraktowana intuicyjnie.

Można sobie rozpisać:
\(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n}=A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup ...}\)

petro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 293
Rejestracja: 15 lut 2005, o 22:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: sam nie wiem
Podziękował: 56 razy

Wyznaczyć zbiory

Post autor: petro » 7 mar 2011, o 18:39

Niestety kompletnie nic mi nie świta:(

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Wyznaczyć zbiory

Post autor: miki999 » 7 mar 2011, o 19:25

Napisz kilka pierwszych wyrazów.

petro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 293
Rejestracja: 15 lut 2005, o 22:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: sam nie wiem
Podziękował: 56 razy

Wyznaczyć zbiory

Post autor: petro » 7 mar 2011, o 22:16

\(\displaystyle{ A_1=(0,2),
A_2=(0, \frac{3}{2}),
A_3=(0, \frac{4}{3}),
A_4=(0, \frac{5}{4})}\)

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Wyznaczyć zbiory

Post autor: miki999 » 7 mar 2011, o 22:18

Ok, teraz napisz ile wynosi ich suma oraz przekrój.

petro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 293
Rejestracja: 15 lut 2005, o 22:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: sam nie wiem
Podziękował: 56 razy

Wyznaczyć zbiory

Post autor: petro » 7 mar 2011, o 22:58

\(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} = (0,2) \cup (0, \frac{3}{2}) \cup (0, \frac{4}{3}) \cup (0, \frac{5}{4}) \cup ... \cup (0, 1+1/n)}\)

O to chodzi?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26752
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4472 razy

Wyznaczyć zbiory

Post autor: Jan Kraszewski » 8 mar 2011, o 00:03

Nie. To jest suma nieskończona, a nie skończona. Masz wyznaczyć jaki zbiór dostaniemy w sumie. Może narysuj sobie te zbiory na osi. Jaki zbiór dostaniesz w sumie?

JK

petro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 293
Rejestracja: 15 lut 2005, o 22:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: sam nie wiem
Podziękował: 56 razy

Wyznaczyć zbiory

Post autor: petro » 8 mar 2011, o 17:24

\(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} = (0,2)}\)

O ile sumę łatwo dostrzec na osi po naniesieniu tych przedziałów na oś, tak mam problem z iloczynem. Im większy zakres to zbiór wyjściowy się zmniejsza. Może macie jakieś wskazówki?

Awatar użytkownika
Psiaczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1464
Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 463 razy

Wyznaczyć zbiory

Post autor: Psiaczek » 8 mar 2011, o 17:31

petro pisze:Treść zadania:
Niech \(\displaystyle{ A_{n}=(0,1+1/n), n \in \mathbb{N}}\), będzie rodziną przedziałów osi rzeczywistej. Proszę wyznaczyć:
a) \(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n}}\)

b) \(\displaystyle{ \bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n{}\)
Nie mam pojęcia jak się za to zabrać i od czego zacząć. Nie udało mi się też znaleźć żadnego przykładowego zadania, na którym mógłbym się wzorować przy rozwiązaniu. Proszę o pomoc
Dobrze ci tutaj mowili, że jesli każdy następny zbiór zawarty jest w poprzednim, to suma ich jest równa temu pierwszemu , czyli przedziałowi (0,2)

Co do częsci wspólnej możesz spróbować tak:
-pokaż że przedział (0,1] zawiera się w każdym z tych zbiorów a więc i w ich częsci wspólnej,a potem pokaż że jeśli x nie należy do (0,1] to znajdzie się zbiór , do którego x nie nalezy, więc nie należy też do części wspólnej.

petro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 293
Rejestracja: 15 lut 2005, o 22:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: sam nie wiem
Podziękował: 56 razy

Wyznaczyć zbiory

Post autor: petro » 8 mar 2011, o 18:10

Tutaj nic chyba nie muszę pokazywać, wystarczy gdy wyznaczę te zbiory.

Teraz mam dane \(\displaystyle{ A_{n}=(-1/n, 1+1/n), n \in N}\)

Z sumą nie mam już problemu i wynosi: \(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} = (-1, 2)}\)
Ale co z iloczynem? \(\displaystyle{ \bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n} = (???,1>}\) Nie wiem jak dojść do tego co powinno być w miejscu pytajników.

ODPOWIEDZ