Matematyka.pl

Tak.

JK

i pozostało chyba
najtrudniejsze to \(\displaystyle{ |\mathbb{Q}_+|=|\mathbb{Q}|}\)
prosiłbym o wskazówki do tego?

E tam.
1. \(\displaystyle{ |\mathbb{Q}_-|=|\mathbb{Q}_+|}\) - prosto.
2. \(\displaystyle{ \mathbb{Q}=\mathbb{Q}_-\cup\mathbb{Q}_+\cup\{0\}}\) i korzystasz z twierdzenia o sumie zbiorów przeliczalnych (w którejś z wersji).

JK

1. \(\displaystyle{ g(k)=-k}\)
2. suma zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym

dobrze?

dobrze?

Tak.


Jeżeli uprzednio udowodniłeś, że \(\displaystyle{ |\mathbb{Q}|=\aleph _0}\), to można też to zrobić inaczej. Sprawdzenie, że \(\displaystyle{ |\mathbb{Q}_+|=|\mathbb{Q}|}\) jest prostym wnioskiem wynikającym z inkluzji: \(\displaystyle{ \mathbb{N}_+ \subset \mathbb{Q}_+ \subset \mathbb{Q}}\).



Pozdrawiam.

miki999 pisze:Jeżeli uprzednio udowodniłeś, że \(\displaystyle{ |\mathbb{Q}|=\aleph _0}\), to można też to zrobić inaczej.

Miki, my właśnie to dowodzimy...

JK

Rzeczywiście, myślałem, że to jakiś inny (któryś z kolei) podpunkt.



Pozdrawiam.

a jak najlepiej pokazac ze \(\displaystyle{ f:N\times N\to N, f(n,k)=2^n(2k+1)-1}\) jest różnowartościowa

gg1985 pisze: ↑18 lis 2006, o 15:48 Witam

1. Używając metody przekątniowej, wykazać że iloczyn kartezjański dwóch zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.

2. Wykazać, że zbiór liczb wymiernych jest zbiorem przeliczalnym

Pozdrawiam

ad.2.
Zastanawiałem się kiedyś nad takim dowodzeniem przeliczalności zbioru liczby wymiernych.

1. Liczbę wymierną możemy przedstawić jako dzielnik dwóch liczb całkowitych.
2. Każdą liczbę całkowitą możemy wypowiedzieć i zapisać jednoznacznie wyrazami o skończonej liczbie głosek (liter). (np. "Sto dwadzieścia pięć miliardów dwieście cztery").
3. Więc także każdy dzielnik możemy wypowiedzieć i zapisać jednoznacznie (np. "szesnaście tysięcy pięćset cztery podzielić na dwadzieścia osiem").
4. Wyrazy i zdania można posortować jednoznacznie alfabetycznie i jest to porządek, bez powtórzeń. Tutaj oczywiście potrzebny jest lemat o porządku alfabetycznym.
5. Uporządkowana alfabetycznie lista zdań opisujących liczby wymierne jest przeliczalna.

Czego brakuje takiemu dowodowi ?

Mozesz też zobaczyć tu:

Stąd \(\displaystyle{ \left| \NN \times \NN\right| \le \left| \NN\right| .}\)

Nierówność mocy w drugą drugą stronę jest oczywista, gdyż \(\displaystyle{ \left| \NN \times \NN\right| \ge \left| \NN \times \left\{ 0\right\} \right|=\left| \NN\right|. }\)

A zatem \(\displaystyle{ \NN \times \NN\sim\NN.}\)

A zatem również iloczyn kartezjański dwóch zbiorów przeliczalnych (równolicznych z \(\displaystyle{ \NN}\) ) jest przeliczalny, gdyż jeśli zbiory \(\displaystyle{ A,B}\) są przeliczalne, czyli równoliczne z \(\displaystyle{ \NN}\), to \(\displaystyle{ A\times B\sim \NN \times \NN\sim\NN,}\) a więc zbiór \(\displaystyle{ A \times B}\) jest równoliczny z \(\displaystyle{ \NN}\), czyli przeliczalny.\(\displaystyle{ \square}\)

Jakub Gurak, przecież post Strunowca nie dotyczył tego, jak udowodnić przeliczalność zbioru liczb wymiernych. Chodziło o to, by ocenić konkretny pomysł dowodowy.

Strunowiec pisze: ↑24 sty 2020, o 10:561. Liczbę wymierną możemy przedstawić jako dzielnik dwóch liczb całkowitych.

Nie "dzielnik" tylko "iloraz".

Strunowiec pisze: ↑24 sty 2020, o 10:562. Każdą liczbę całkowitą możemy wypowiedzieć i zapisać jednoznacznie wyrazami o skończonej liczbie głosek (liter). (np. "Sto dwadzieścia pięć miliardów dwieście cztery").
3. Więc także każdy dzielnik możemy wypowiedzieć i zapisać jednoznacznie (np. "szesnaście tysięcy pięćset cztery podzielić na dwadzieścia osiem").
4. Wyrazy i zdania można posortować jednoznacznie alfabetycznie i jest to porządek, bez powtórzeń. Tutaj oczywiście potrzebny jest lemat o porządku alfabetycznym.
5. Uporządkowana alfabetycznie lista zdań opisujących liczby wymierne jest przeliczalna.

Czego brakuje takiemu dowodowi ?

Dokładności formalnej. Pomysł ogólnie jest dobry, ale na poziomie szczegółów są kłopoty. Nie jest prawdą np., że każdy iloraz możemy zapisać jednoznacznie, bo np. "Jeden podzielić na dwa", "Dwa podzielić na cztery" itd. zapisują tę samą liczbę wymierną. Co więcej, każda liczba wymierna jest zapisana na nieskończenie wiele sposobów. Trzeba to jakoś poprawić. Dalej, stwierdzenie "Uporządkowana alfabetycznie lista zdań opisujących liczby wymierne jest przeliczalna." wymaga uzasadnienia. A jak zaczniesz doprecyzowywać te kwestie i dowodzić brakujące lematy, to okaże się, że dowód jest dość skomplikowany...

JK