Udowodnienie relacji.

[mmss444]

Mamy M = \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) \(\displaystyle{ \times}\) (\(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) {0} i relacje:
(a,b) \(\displaystyle{ \sim}\) (c,d) \(\displaystyle{ : \Leftrightarrow}\) a\(\displaystyle{ \cdot}\)d = b\(\displaystyle{ \cdot}\)c.

(a) Udowodnij, ze \(\displaystyle{ \sim}\) jest relacja rownowaznosci.
(b) Zidentyfikuj zbior M/\(\displaystyle{ \sim}\) ze zbiorem liczb wymiernych \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\).
(c) Zostaly wprowadzone 2 operacje:
(a,b) \(\displaystyle{ \ominus}\) (c,d) := (ad + bc, bd)
(a,b) \(\displaystyle{ \odot}\) (c,d) := (ac,bd).
Udowodnij, ze obie operacje sa asocjacyjne i przemienne oraz, ze pomiedzy \(\displaystyle{ \ominus}\) i \(\displaystyle{ \odot}\) istnieje rozdzielnosc.

Czy moglby mnie ktos naprowadzic na poprawne rozwiazanie tego zadania?? Nie wiem, od czego zaczac. Czy moglabym prosic o wyjasnienie tego na innym przykladzie??

Z gory dziekuje za pomoc.

[Kartezjusz]

a) Zwrotność
\(\displaystyle{ (a,b) \sim (a,b) \Leftrightarrow ab=ab}\)
Symetria \(\displaystyle{ (a,b)\sim (c,d) \Leftrightarrow ad=bc \Leftrightarrow da=cb \Leftrightarrow (b,a)\sim (d,c)}\)
Przechodniość
\(\displaystyle{ (a,b)\sim (c,d) \wedge (c,d) \sim (e,f) \Leftrightarrow (ad=bc) \wedge (cf=de)}\)
Pomnóż oba równania stronami i masz
b)Inkluzja w obie strony. Zobacz,że zbiór ilorazowy ma wszystkie liczny wymierne i na odwrót
c) Działań na relacjach nie miałem. Wytłumacz mi asocjacyjność,bo rozdzielczości się domyślę...

[Jan Kraszewski]

b)Inkluzja w obie strony. Zobacz,że zbiór ilorazowy ma wszystkie liczny wymierne i na odwrót

Nie inkluzje, tylko sprawdzasz, że utożsamienie \(\displaystyle{ f:M/_\sim \longrightarrow \mathbb{Q}}\), \(\displaystyle{ f([(a,b)]_\sim)=\frac{a}{b}}\) jest dobrze określoną bijekcją.

c) Działań na relacjach nie miałem. Wytłumacz mi asocjacyjność,bo rozdzielczości się domyślę...

Asocjacyjność to łączność, a przemienność to nie rozdzielczość. A działania nie są na relacji, tylko na zbiorze \(\displaystyle{ M}\).

JK

[mmss444]

Nie rozumiem tego. Takie trudne rzeczy juz na poczatku studiow... Moglby mi to ktos wytlumaczyc na innym przykladzie??

[Jan Kraszewski]

A co to za studia?

JK

[mmss444]

Matematyka. Na dodatek po niemiecku!! Na co ja sie pisalam... No ale nie mam wyboru, trzeba sie uczyc.

[Jan Kraszewski]

No jak matematyka, to nie masz co się dziwić (choć jak dla mnie trochę za szybko te relacje).

Relacje to dość skomplikowany dział - nie masz kogoś, kto by Ci to wytłumaczył "twarzą w twarz"? Bo przez sieć wytłumaczenie wszystkiego od podstaw może być trudne.

JK

[mmss444]

Niestety nie mam takiej osoby. Profesor leci z materialem jak szalony. Dlatego pisze tutaj na forum to, czego nie rozumiem. A wiec jak?? Moglbys mi podac przyklad i na nim to wyjasnic, tak zebym w koncu pojela?? Bo inaczej chyba sie nie da...

[Jan Kraszewski]

Będzie trudno, ale zacznijmy od doprecyzowania: czego nie rozumiesz? Odpowiedź "wszystkiego" nie jest poprawna. Wiesz, co to jest relacja? Wiesz, jak są zdefiniowane własności zwrotności, symetrii, przechodniości?

JK

PS. A gdzie uczą matematyki po niemiecku?

[mmss444]

Wiem, co to jest relacja, znam jej wlasnosci, ale nie potrafie ich zastosowac w zadaniu. Np. biorac pod uwage moje zadanie:

\(\displaystyle{ (a,b) \sim (c,d) : \Leftrightarrow a\cdot d = b\cdot c.}\)

nie wiem, jak mam udowodnic, ze jest to symetria, zwrotnosc czy przechodnosc. Nie rozumiem, jak mam to podstawic.

PS. Za granica.

-- 6 lis 2010, o 13:01 --

Sprobowalam zrobic podpunkt (c) i wyszlo mi tak:

\(\displaystyle{ (a,b) \ominus (c,d) := (ad + bc, bd)}\)
Asocjacja: \(\displaystyle{ (a,b) \ominus [(c,d) \ominus (e,f)] = [(a,b) \ominus (c,d) \ominus (e,f)}\)
Przemiennosc: \(\displaystyle{ (a,b) \ominus (c,d) = (c,d) \ominus (a,b)}\)

\(\displaystyle{ (a,b) \odot (c,d) := (ac,bd)}\)
Asocjacja: \(\displaystyle{ (a,b) \odot [(c,d) \odot (e,f)] = [(a,b) \odot (c,d) \odot (e,f)}\)

Rozdzielczosc (rozdzielnosc??) pomiedzy zbiorami \(\displaystyle{ \oplus}\) (tak, tam powinienbyc +) i \(\displaystyle{ \odot}\) :

\(\displaystyle{ (a \oplus b) \odot = a \odot c \oplus b \odot c \qquad (*)\\
a \odot (b \oplus c) = a \odot b \oplus a \odot c\qquad (**)}\)
\(\displaystyle{ (*)}\) i \(\displaystyle{ (**)}\) nie jestem pewna...

[Jan Kraszewski]

Wiem, co to jest relacja, znam jej wlasnosci, ale nie potrafie ich zastosowac w zadaniu. Np. biorac pod uwage moje zadanie:

\(\displaystyle{ (a,b) \sim (c,d) : \Leftrightarrow a\cdot d = b\cdot c.}\)

nie wiem, jak mam udowodnic, ze jest to symetria, zwrotnosc czy przechodnosc. Nie rozumiem, jak mam to podstawic.

Uważaj przy pisaniu formuł texowych. Powinno być "a\cdot d", a nie "a\cdotd". I bierz CAŁE wyrażenia matematyczne w tagi [latex].

To zróbmy zwrotność. Relacja \(\displaystyle{ R}\) na zbiorze \(\displaystyle{ X}\) jest zwrotna, gdy dla każdego \(\displaystyle{ x\in X}\) zachodzi warunek \(\displaystyle{ (x,x)\in R}\).

W Twoim przypadku \(\displaystyle{ X=\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z} \setminus \{0\})}\), czyli \(\displaystyle{ x}\)-ami z powyższej definicji będą pary liczb całkowitych. Ustalasz zatem dowolną parę \(\displaystyle{ (a,b)}\) i sprawdzasz, czy zachodzi warunek \(\displaystyle{ (a,b)R(a,b)}\). Ale z definicji relacji wynika, że

\(\displaystyle{ (a,b)R(a,b) \Leftrightarrow a\cdot b=a\cdot b}\),

czyli warunek zachodzi i z dowolności wyboru pary \(\displaystyle{ (a,b)}\) wynika, że relacja jest zwrotna.

Sprobowalam zrobic podpunkt (c) i wyszlo mi tak:

\(\displaystyle{ (a,b)\ominus(c,d) := (ad + bc, bd)}\)
Asocjacja: \(\displaystyle{ (a,b)\ominus[(c,d)\ominus(e,f)] = [(a,b)\ominus(c,d)\ominus(e,f)}\)
Przemiennosc: \(\displaystyle{ (a,b)\ominus(c,d) = (c,d)\ominus(a,b)}\)

\(\displaystyle{ (a,b)\odot(c,d) := (ac,bd)}\)
Asocjacja: \(\displaystyle{ (a,b)\odot[(c,d)\odot(e,f)] = [(a,b)\odot(c,d)\odot(e,f)}\)

Rozdzielczosc (rozdzielnosc??) pomiedzy zbiorami \(\displaystyle{ \oplus}\)(tak, tam powinien byc +) i \(\displaystyle{ \odot}\):

\(\displaystyle{ (a\oplus b)\odot = a\odot c\oplus b\odot c}\) (*)
\(\displaystyle{ a\odot(b\oplus c) = a\odot b\oplus a\odot c}\) (**)
(*) i (**) nie jestem pewna...

Zauważ, że nic nie dowiodłaś, tylko przepisałaś definicje tych własności (czyli napisałaś, jak wygląda teza - dowodu tu nie ma ani ciut...), a powinnaś wykorzystać definicje działań, by te własności wykazać. Powinno być np. tak:

Przemiennosc: \(\displaystyle{ (a,b)\ominus(c,d) = (ad + bc, bd) = (cb + da, db) = (c,d)\ominus(a,b)}\)

Inne tak samo.

JK

[mmss444]

Ok, sprobowalam to udowodnic i wyszlo mi tak:
\(\displaystyle{ (a,b)\ominus(c,d) := (ad + bc, bd)}\)
Przemiennosc: \(\displaystyle{ (a,b)\ominus(c,d) = (a,d+bc,bd) = (cb +da,db) = (c,d)\ominus(a,b)}\)
Asocjacja: \(\displaystyle{ (a,b)\ominus((c,d)\ominus(e,f)) = (ad+bc,bd) = (ad+bc,bd) = ((a,b)\ominus(c,d))\ominus(e,f)}\)

\(\displaystyle{ (a,b) \odot (c,d) := (ac,bd)}\)
Przemiennosc: \(\displaystyle{ (a,b)\odot(c,d) = (ac,bd) = (db,ca) = (c,d)\odot(a,b)}\)
Asocjacja: \(\displaystyle{ (a,b)\odot((c,d)\odot(e,f)) = (ac,bd) = (ac,bd) = ((a,b)\odot(c,d))\odot(e,f)}\)

Nie umiem asocjacji, wyszlo mi to tak, ze lewa i prawa strona jest taka sama... A jak powinno byc poprawnie??

Rozdzielczosc (rozdzielnosc??) pomiedzy zbiorami \(\displaystyle{ \oplus}\) (tak, tam powinien byc +) i \(\displaystyle{ \odot}\) :

\(\displaystyle{ (a \oplus b) \odot c = a \odot c \oplus b \odot c \qquad (*)\\
a \odot (b \oplus c) = a \odot b \oplus a \odot c\qquad (**)}\)
\(\displaystyle{ (*)}\) i \(\displaystyle{ (**)}\) nie jestem pewna...

To tez zapewne mam udowodnic??

[Jan Kraszewski]

Asocjacja: \(\displaystyle{ (a,b)\ominus((c,d)\ominus(e,f)) = (ad+bc,bd) = (ad+bc,bd) = ((a,b)\ominus(c,d))\ominus(e,f)}\)

Po polsku jednak łączność, a nie asocjacja. A dowód zły, przecież w ogóle nie zastosowałaś definicji. Powinno być

\(\displaystyle{ (a,b)\ominus((c,d)\ominus(e,f)) = (a,b)\ominus(cf+ed,df) = (adf+b(cf+ed),bdf) = (adf+bcf+bed, bdf)}\)
\(\displaystyle{ ((a,b)\ominus(c,d))\ominus(e,f)=(ad + bc, bd)\ominus(e,f)=((ad + bc)f+bde,bdf)=(adf+bcf+bde, bdf)}\)

Zatem \(\displaystyle{ (a,b)\ominus((c,d)\ominus(e,f))=((a,b)\ominus(c,d))\ominus(e,f)}\), czyli działanie \(\displaystyle{ \ominus}\) jest łączne.

\(\displaystyle{ (a,b) \odot (c,d) := (ac,bd)}\)
Przemiennosc: \(\displaystyle{ (a,b)\odot(c,d) = (ac,bd) = (db,ca) = (c,d)\odot(a,b)}\)
Asocjacja: \(\displaystyle{ (a,b)\odot((c,d)\odot(e,f)) = (ac,bd) = (ac,bd) = ((a,b)\odot(c,d))\odot(e,f)}\)

Źle, nie umiesz niestety stosować definicji. Powinno być

Przemiennosc: \(\displaystyle{ (a,b)\odot(c,d) = (ac,bd) = (ca,bd) = (c,d)\odot(a,b)}\)
Łączność:
\(\displaystyle{ ((a,b)\odot(c,d))\odot(e,f)) = (ac,bd)\odot(e,f)=(ace,bdf) = (a,b)\odot(ce,df) = (a,b)\odot((c,d)\odot(e,f))}\)

Rozdzielczosc (rozdzielnosc??) pomiedzy zbiorami \(\displaystyle{ \oplus}\) (tak, tam powinien byc +) i \(\displaystyle{ \odot}\) :

\(\displaystyle{ (a \oplus b) \odot c = a \odot c \oplus b \odot c \qquad (*)\\
a \odot (b \oplus c) = a \odot b \oplus a \odot c\qquad (**)}\)
\(\displaystyle{ (*)}\) i \(\displaystyle{ (**)}\) nie jestem pewna...

To tez zapewne mam udowodnic??

Też masz udowodnić.

JK

[mmss444]

Źle, nie umiesz niestety stosować definicji.

Tak tez napisalam, ze z tym mam problem.

Dziekuje za zlitowanie sie nade mna i podanie mi prawidlowych odpowiedzi, ale to nie zmienia faktu, ze i tak musze w koncu to zrozumiec.

[Jan Kraszewski]

ale to nie zmienia faktu, ze i tak musze w koncu to zrozumiec.

Nie zmienia, dlatego postaraj się zrozumieć to, co Ci napisałem.

JK