Sprawdzic, czy rownosci zachodza dla kazdego zbioru A B i C

bacardi · Post autor: **bacardi** » 26 paź 2010, o 20:57

Witam, znow potrzebuje pomocy, mianowicie jest to matematyka dyskretna... Z ktora na dobrych warunkach nie jestem.. Dziekuje za wszelka pomoc

1. \(\displaystyle{ A\oplus B = B\oplus A}\)
2. \(\displaystyle{ (A\oplus B)\oplus C = A\oplus(B\oplus C)}\)
3. \(\displaystyle{ A\cup (B\oplus C) = (A\cup B)\oplus (A\cup C)}\)
4. \(\displaystyle{ A\cap (B\oplus C) = (A\cap B)\oplus (A\cap C)}\)

Nalezy udowodnic formalnie, w czym jest problem u mnie Pozdrawiam

Mikolaj9 · Post autor: **Mikolaj9** » 26 paź 2010, o 22:55

A co to jest za działanie \(\displaystyle{ \oplus}\)?

bacardi · Post autor: **bacardi** » 26 paź 2010, o 23:25

jest to roznica symetryczna, nie wiem jak inaczej to zapisac, a tak mam w zadaniach

Mikolaj9 · Post autor: **Mikolaj9** » 26 paź 2010, o 23:52

Tak myślałem.

Pierwsze dwie własności są trywialne:

\(\displaystyle{ x \in A \oplus B \Leftrightarrow x \in A \setminus B \vee x \in B \setminus A \Leftrightarrow x \in B \setminus A \vee x \in A \setminus B \Leftrightarrow x \in B \oplus A}\)

albo nie wchodząc aż tak głęboko

\(\displaystyle{ A \oplus B = A \setminus B \cup B \setminus A = B \setminus A \cup A \setminus B = B \oplus A}\)

albo też tak:

\(\displaystyle{ A\oplus B=(A \cup B) \setminus (A \cap B)}\)

i zamienić co trzeba w nawiasach.

Drugą robi się podobnie.

Czy aby na pewno trzecie jest prawdziwe?

Weźmy na przykład zbiory \(\displaystyle{ A=\{1,2\},B=\{1\},C=\{2\}.}\)

bacardi · Post autor: **bacardi** » 27 paź 2010, o 00:17

dziekuje, wydaje mi sie, ze nie koniecznie musza byc prawdziwe, w takim wypadnku nalezy jakos udowodnic, ze nie sa, formalnie niestety ..

Mikolaj9 · Post autor: **Mikolaj9** » 27 paź 2010, o 00:23

Ale podanie kontrprzykładu jest jak najbardziej formalnym uzasadnieniem.

Post autor: **Jan Kraszewski** » 27 paź 2010, o 09:21

Mikolaj9 pisze:Drugą robi się podobnie.

Troszkę upraszczasz, drugie robione podobnie to dość wyczerpujący rachunek.

Inna wersja dowodu drugiego: 72730.htm

JK

bacardi · Post autor: **bacardi** » 27 paź 2010, o 10:36

Dziekuje Panom, w takim razie, co mam zrobic z trzecim i czwartym?

Post autor: **Jan Kraszewski** » 27 paź 2010, o 10:54

W trzecim Mikolaj napisał Ci kontrprzykład, który jest dowodem na to, że nieprawdą jest, iż stosowna równość zachodzi dla dowolnych zbiorów.

Czwarta równość zachodzi dla dowolnych zbiorów, zatem trzeba to udowodnić.

JK

bacardi · Post autor: **bacardi** » 27 paź 2010, o 11:18

Dziekuje bardzo